.Texto_017: Setor e segmento circular


Setor circular e segmento circular


Vamos discutir sobre duas regiões de um círculo que, embora sejam bastante utilizadas na solução de problemas envolvendo áreas, é comum certa confusão entre elas. Ambas as regiões dependem de uma circunferência e de um ângulo central (ou um arco de circunferência), elas têm uma relação entre si, mas são objetos matemáticos distintos.
Bom proveito!

Setor Circular


Considere um círculo [tex]c[/tex] de centro [tex]O[/tex] e fixe dois pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] da circunferência de [tex]c[/tex].
Chamamos setor circular a região do círculo [tex]c[/tex] limitada pelo arco da circunferência definido por [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] e pelos raios [tex]OA[/tex] e [tex]OB[/tex].
Se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] não forem extremidades de um diâmetro, o setor circular definido pode receber nomes particulares: o setor é chamado de setor circular menor, se o arco que o define for o chamado “arco menor”; caso contrário, o setor é dito setor circular maior.

De modo geral, o arco utilizado na definição de um setor circular é o dito “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores, mas as conclusões aqui estabelecidas são válidas para setores circulares definidos por arcos quaisquer. Observe que, em um mesmo círculo, a soma das áreas do setor circular maior e do setor circular menor definidos pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é exatamente a área do próprio círculo.

Perceba que os raios [tex]OA[/tex] e [tex]OB[/tex] e o centro [tex]O[/tex] definem um ângulo central e um arco.
Assim, podemos associar a cada setor circular três medidas: o comprimento [tex]R[/tex] do raio do círculo, a medida [tex]\alpha[/tex] do ângulo central e o comprimento [tex]l [/tex] do arco.
Sendo uma região do plano, o setor circular tem uma área que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[/tex] e a medida [tex]\alpha[/tex] (em radianos ou em graus).
Se conhecermos o comprimento do arco definido pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], além do comprimento [tex]R[/tex] do raio, também é possível obtermos a área do setor circular.

Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] radianos
[tex]\qquad \qquad\boxed{A_{setor}=\dfrac{\alpha R^{~2}}{2}}[/tex]

Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] graus
[tex]\qquad \qquad \boxed{A_{setor}=\dfrac{\pi R^{~2} \alpha}{360}}[/tex]

Área de um setor circular de raio [tex]R[/tex] e comprimento de arco [tex]l[/tex]
[tex]\qquad \qquad\boxed{A_{setor}=\dfrac{l\cdot R}{2}}[/tex]


Para saber de onde vieram essas três fórmulas, clique no botão abaixo.


Achou a última fórmula parecida com a da área de um triângulo?
Então, clique no botão abaixo.







Segmento Circular


Considere um círculo [tex]c[/tex] de centro [tex]O[/tex] e fixe dois pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] da circunferência de [tex]c[/tex].
Chamamos segmento circular a região do círculo [tex]c[/tex] limitada pela corda e pelo arco da circunferência definidos por [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] não forem extremidades de um diâmetro, o segmento circular definido também pode receber nomes particulares: se o arco que define o segmento circular for o chamado “arco menor”, então temos o segmento circular menor, caso contrário, temos um segmento circular maior.

De modo geral, o arco utilizado na definição de um segmento circular é também o “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores. Observe que, em um mesmo círculo, a soma das áreas do segmento circular maior e do segmento circular menor definidos pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é igual à área do próprio círculo.

Perceba que os pontos [tex]O[/tex], [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] definem os raios [tex]OA[/tex] e [tex]OB[/tex] e um ângulo central.
Assim, podemos associar a cada segmento circular duas medidas: o comprimento [tex]R[/tex] do raio do círculo e a medida [tex]\alpha[/tex] do ângulo central.
Sendo também uma região do plano, o segmento circular tem uma área que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[/tex] e a medida [tex]\alpha[/tex] em radianos.

Área de um segmento circular de raio [tex]R[/tex] e [tex]\alpha[/tex] radianos
[tex]\qquad \qquad \boxed{A_{segm}=\dfrac{R^{~2}}{2}\left(\alpha-sen~\alpha\right)}[/tex]


Para saber de onde veio essa fórmula, clique no botão abaixo.

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Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matemática.
Continue pesquisando sobre o assunto; afinal, conhecimento nunca é demais!



Sonia Regina Di Giacomo
Equipe COM – OBMEP



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