Princípio Fundamental de Contagem: Generalização

E aí, o que você concluiu com relação aos exemplos 4 e 5, nos quais apareceram três escolhas: as três escolhas do ratinho e as três escolhas da Raíza?

Observei um fato bem interessante! Em cada situação, as três escolhas puderam ser “agrupadas” em apenas duas e, então, foi possível aplicar o Princípio Multiplicativo!
Mas é sempre assim?

Bom, muito bom…
É isso mesmo, o Princípio Fundamental da Contagem é tão útil que pode ser aplicado para qualquer número de decisões!
Você está prestes conhecer a forma generalizada do PFC.

Princípio Fundamental de Contagem – Generalização

Veja o diagrama de árvore relativo ao Problema 5:
JUNTOS2

Observe que, a partir do PFC , podemos raciocinar da seguinte forma:
– temos, agora, duas decisões a serem tomadas: a escolha da roupa (calça e camiseta) e a escolha do chapéu.
Podemos calcular as possibilidades para a primeira escolha multiplicando o número de calças pelo número de blusas, como já fizemos. Essa multiplicação nos daria 6 possibilidades para a escolha da roupa.
Feito isso, utilizamos novamente o PFC para duas decisões (a escolha da roupa e a escolha do chapéu), e encontramos um total de 6 × 4 = 24 possibilidades.
Porém, se formos analisar essa solução vamos verificar que fizemos a multiplicação (2 × 3) × 4. Pela propriedade associativa da multiplicação, essa expressão equivale a 2 × 3 × 4, ou seja, à multiplicação das possibilidades individuais de cada uma das três escolhas: a escolha da calça, a escolha da camiseta e a escolha do chapéu.
Para cada calça, há 3 possibilidades de camiseta e, para cada conjunto com uma calça e uma camiseta, há 4 possibilidades de chapéu. Portanto, o número total de possibilidades de escolha para os modelitos de Raíza é (2 × 3) × 4 = 2 × 3 × 4 = 24.

Um raciocínio semelhante pode ser aplicado para problemas com quatro ou mais decisões diferentes. Sendo assim, o PFC pode ser enunciado de forma geral:

Princípio Multiplicativo – Princípio Fundamental da Contagem
Se as decisões A₁, A₂, A₃, …, A_n puderem ser tomadas de, respectivamente, a₁, a₂, a₃, …, a_n maneiras diferentes, então a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente essas n decisões é dada pelo produto: a₁ × a₂ × a₃ × … × a_n.

Poxa, isso é muito legal!
E o diagrama de árvore ajuda bastante na visualização do Princípio.
Vamos resolver mais exercícios?

Os problemas a seguir são para você pensar: tente resolvê-los sem ver as soluções.
– Se você conseguir, parabéns!
– Se não conseguir, não vale desanimar! Leia as soluções e tente aprender!
Bons estudos!

Problemas Propostos

Problema 6:
Quantos são os números pares, de três algarismos, e começados por um algarismo ímpar?

Problema 7:
De quantas maneiras podemos escolher um chefe, um tesoureiro e um secretário para um clube, sendo que há 10 candidatos a chefe, 20 candidatos a tesoureiro e 30 candidatos a secretário?

Problema 8:
Cristina nasceu em um dia par, de um mês ímpar, de um ano par. Sabendo que ela nasceu após 1991 e antes de 2014, quantas são as possíveis datas para o nascimento de Cristina?

Problema 9:
De quantas maneiras podemos escolher um capitão, um imediato e um cozinheiro de bordo de uma tripulação composta por 15 homens?

Problema 10 (Banco de Questões – OBMEP 2011):
Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras.
A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto A={G, H, L, P, R}, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto B={M, I, O} e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto C={D, U, N, T}.
Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois conjuntos.
Qual o maior número de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?

Problema 11:
Ânika confecciona bolsas artesanais. Ela dispõe de 4 diferentes tipos de fecho, 3 diferentes tecidos para a bolsa e 6 cores distintas para a flor a ser utilizada como o “toque final”. Além disso, ela consegue fazer 2 modelos distintos de alça.
Ânika promete exclusividade a todas as suas clientes. No máximo quantas clientes poderão comprar de Ânika até que ela modifique suas disponibilidades?

Será que com o Princípio Multiplicativo dá para calcular quantas placas de automóveis pode haver no Brasil?

Sim!
As placas no Brasil, atualmente, são compostas por 3 letras (incluindo k, y e w ) e 4 números.
Que tal tentar?
Mas lembre-se de que não há placas terminadas em 0000.

Nossa, utilizando o Princípio a gente faz uma contagem, sem contar!
Até esqueci a tabuada….

◆ Francimar de Brito Vieira
Equipe COM – OBMEP
◆ Noemi Zeraick Monteiro
Equipe COM – OBMEP
◆ Victor de Oliveira Bitarães
Colaborador

Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matemática.
E que tal agora tentar resolver alguns problemas?

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Bons Estudos!