Um pouco sobre divisibilidade – Divisibilidade nos naturais: Problemas

Divisibilidade nos naturais

Problemas

Problema 1: Existem números naturais

$a$ ,

$b$ e

$c$ tais que

$a \mid bc$ , mas

$a \nmid b$ e

$a \nmid c$ ? Justificar a resposta.

Problema 2: Sejam

$a$ ,

$b$ e

$c$ números naturais, com

$c\ne0$ . Mostrar que

$a \mid b$ se, e somente se,

$ac \mid bc$ .

Problema 3: Determinar todos os números naturais múltiplos de

$5$ de três algarismos cuja soma é

$19$ .

Problema 4: Determinar um número natural

$n$ de quatro algarismos que somado à soma de seus algarismos resulte

$2603$ .

Problema 5: Quantos múltiplos de

$3$ , com quatro algarismos distintos, podem ser formados com

$2, \, 3, \, 4, \, 6 \,$ e

$\, 9$ ?

Problema 6: (Olimpíada de Maio – 2006) Encontre todos os naturais m e n tais que

$m\mid n + 1$ e

$n\mid m + 1$ .

Problema 7: Um número com cem algarismos iguais a

$0$ , cem algarismos iguais a

$1$ e cem algarismos iguais a

$2$ pode ser um quadrado perfeito?

Problema 8: Um número com trinta algarismos iguais a

$0$ , trinta algarismos iguais a

$1$ e trinta algarismos iguais a

$2$ pode ser um quadrado perfeito?

Problema 9: Encontre todos os números naturais

$x$ e

$y$ tais que

$x^2-y^2=37$ .

Problema 10: Suponha

$a$ e

$b$ números naturais. Mostre que se

$3 \mid a + 7b$ então

$3 \mid a + b$ .

Problema 11: (OBM 2000) É possível encontrar duas potências de

$2$ , distintas e com o mesmo número de algarismos, tais que uma possa ser obtida da outra por meio de uma reordenação dos dígitos?

Problema 12: O número de seis dígitos

$X = abcdef$ satisfaz a propriedade de que

$abc − def$ é divisível por

$7$ .
Prove que

$X$ também é divisível por

$7$ .

Problema 13: Dado um número de dois algarismos

$n=ab$ , mostrar que

$ab + ba$ é múltiplo de 11.

Problema 14: Determine o algarismo das unidades do número

$1\times 3\times 5\times 7\times \, \cdots \, \times 2013$ .

Problema 15: Qual o valor de

$\alpha$ para que o número de cinco algarismos

$50\alpha 2\alpha$ seja divisível por

$66$ ?

Problema 16: Seja o número $m = 488a9b$ , sendo que “ $b$ ” é o algarismo das unidades e “ $a$ ” o algarismo das centenas.
Sabendo-se que $m$ é divisível por $45$ , então $a + b$ é igual a
a) $1 \qquad\qquad$ b) $7 \qquad\qquad$ c) $9 \qquad\qquad$ d) $16 \qquad\qquad$

As respostas dos problemas 14, 15 e 16 serão apresentados em um vídeo do Portal da Matemática: é só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.

Três respostas

Problema 17: Sendo o número $N=\underbrace{a3ba3b \, \cdots \, a3b}_{51 dígitos} \,$ um múltiplo de $36$ , calcule a soma $\boxed{a+b}$ , sabendo que $a$ é um número ímpar.

Resposta

Problema 18: Os critérios de divisibilidade por $4$ , $8$ e $16$ admitem uma generalização:

Um número natural $n$ é divisível por $2^r$ se, e somente se, …

Que generalização é essa? Justifique sua resposta.

As potências de $10$ , a partir do $100=10^2$ , são todas divisíveis por $4$ ; mas $10$ não é divisível por $4$ : analisamos os dois últimos algarismos.
As potências de $10$ , a partir do $1000=10^3$ , são todas divisíveis por $8$ ; mas $10$ e $100$ não são divisíveis por $8$ : analisamos os três últimos algarismos.
As potências de $10$ , a partir do $10000=10^4$ , são todas divisíveis por $16$ ; mas $10$ , $100$ e $1000$ não são divisíveis por $16$ : analisamos os quatro últimos algarismos.

Problema 19: Encontre todos os número naturais não nulos $x \,$ e $\, y$ tais que $\, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}$ .

Pares

$(x \, , \, y)$ dados por

$(7, 42) \, ; \, (8, 24) \, ; \, (9, 18) \, ; \, (10, 15) \, ; \, (12, 12) \, ; \, (15, 10) \, ; \, (18, 9) \, ; \, (24, 8) \, ; \, (42, 7)$

Problema 20: Mostre que o único número natural que divide simultaneamente

$2^{16} + 1 \,$ e

$\, 2^{32} + 1 \,$ é o

$\, 1$ .

Problema 21: Os critérios de divisibilidade por $6$ , $12$ , $14$ e $15$ , também, admitem uma generalização.
Que generalização é essa? Justifique sua resposta.

$6=2\times 3$ ; $\qquad 12=3\times 4$ ; $\qquad 14=2\times 7$ ; $\qquad 15=3\times 5$

Equipe COM – OBMEP

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