Um pouco sobre divisibilidade – Divisibilidade nos naturais: Problemas
Divisibilidade nos naturais
Problemas
Problema 1: Existem números naturais a, b e c tais que a∣bc, mas a∤b e a∤c ? Justificar a resposta.
Problema 2: Sejam a, b e c números naturais, com c≠0. Mostrar que a∣b se, e somente se, ac∣bc.
Problema 3: Determinar todos os números naturais múltiplos de 5 de três algarismos cuja soma é 19.
Problema 4: Determinar um número natural n de quatro algarismos que somado à soma de seus algarismos resulte 2603.
Problema 5: Quantos múltiplos de 3, com quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 ?
Problema 6: (Olimpíada de Maio – 2006) Encontre todos os naturais m e n tais que m∣n+1 e n∣m+1.
Problema 7: Um número com cem algarismos iguais a 0, cem algarismos iguais a 1 e cem algarismos iguais a 2 pode ser um quadrado perfeito?
Problema 8: Um número com trinta algarismos iguais a 0, trinta algarismos iguais a 1 e trinta algarismos iguais a 2 pode ser um quadrado perfeito?
Problema 9: Encontre todos os números naturais x e y tais que x2−y2=37.
Problema 10: Suponha a e b números naturais. Mostre que se 3∣a+7b então 3∣a+b.
Problema 11: (OBM 2000) É possível encontrar duas potências de 2, distintas e com o mesmo número de algarismos, tais que uma possa ser obtida da outra por meio de uma reordenação dos dígitos?
Problema 12: O número de seis dígitos X=abcdef satisfaz a propriedade de que abc−def é divisível por 7.
Prove que X também é divisível por 7.
Problema 13: Dado um número de dois algarismos n=ab, mostrar que ab+ba é múltiplo de 11.
Problema 14: Determine o algarismo das unidades do número 1×3×5×7×⋯×2013.
Problema 15: Qual o valor de α para que o número de cinco algarismos 50α2α seja divisível por 66?
Problema 16: Seja o número m=488a9b, sendo que “b” é o algarismo das unidades e “a” o algarismo das centenas.
Sabendo-se que m é divisível por 45, então a+b é igual a
a) 1 b) 7 c) 9 d) 16
As respostas dos problemas 14, 15 e 16 serão apresentados em um vídeo do Portal da Matemática: é só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.
Problema 17: Sendo o número N=\underbrace{a3ba3b \, \cdots \, a3b}_{51 dígitos} \, um múltiplo de 36, calcule a soma \boxed{a+b}, sabendo que a é um número ímpar.
Problema 18: Os critérios de divisibilidade por 4, 8 e 16 admitem uma generalização:
Um número natural n é divisível por 2^r se, e somente se, …
Que generalização é essa? Justifique sua resposta.
As potências de 10, a partir do 100=10^2, são todas divisíveis por 4; mas 10 não é divisível por 4: analisamos os dois últimos algarismos.
As potências de 10, a partir do 1000=10^3, são todas divisíveis por 8; mas 10 e 100 não são divisíveis por 8: analisamos os três últimos algarismos.
As potências de 10, a partir do 10000=10^4, são todas divisíveis por 16; mas 10, 100 e 1000 não são divisíveis por 16: analisamos os quatro últimos algarismos.
Problema 19: Encontre todos os número naturais não nulos x \, e \, y tais que \, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}.
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