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Voltar para .Sala de Estudo: Um pouco sobre divisibilidade (Parte 2)

Um pouco sobre divisibilidade – Divisibilidade nos naturais: Problemas

Divisibilidade nos naturais

Problemas


Problema 1: Existem números naturais a, b e c tais que abc, mas ab e ac ? Justificar a resposta.

Problema 2: Sejam a, b e c números naturais, com c0. Mostrar que ab se, e somente se, acbc.

Problema 3: Determinar todos os números naturais múltiplos de 5 de três algarismos cuja soma é 19.

Problema 4: Determinar um número natural n de quatro algarismos que somado à soma de seus algarismos resulte 2603.

Problema 5: Quantos múltiplos de 3, com quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 ?

Problema 6: (Olimpíada de Maio – 2006) Encontre todos os naturais m e n tais que mn+1 e nm+1.

Problema 7: Um número com cem algarismos iguais a 0, cem algarismos iguais a 1 e cem algarismos iguais a 2 pode ser um quadrado perfeito?

Problema 8: Um número com trinta algarismos iguais a 0, trinta algarismos iguais a 1 e trinta algarismos iguais a 2 pode ser um quadrado perfeito?

Problema 9: Encontre todos os números naturais x e y tais que x2y2=37.

Problema 10: Suponha a e b números naturais. Mostre que se 3a+7b então 3a+b.

Problema 11: (OBM 2000) É possível encontrar duas potências de 2, distintas e com o mesmo número de algarismos, tais que uma possa ser obtida da outra por meio de uma reordenação dos dígitos?

Problema 12: O número de seis dígitos X=abcdef satisfaz a propriedade de que abcdef é divisível por 7.
Prove que X também é divisível por 7.

Problema 13: Dado um número de dois algarismos n=ab, mostrar que ab+ba é múltiplo de 11.

Problema 14: Determine o algarismo das unidades do número 1×3×5×7××2013.

Problema 15: Qual o valor de α para que o número de cinco algarismos 50α2α seja divisível por 66?

Problema 16: Seja o número m=488a9b, sendo que “b” é o algarismo das unidades e “a” o algarismo das centenas.
Sabendo-se que m é divisível por 45, então a+b é igual a
a) 1 b) 7 c) 9 d) 16

As respostas dos problemas 14, 15 e 16 serão apresentados em um vídeo do Portal da Matemática: é só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.

Problema 17: Sendo o número N=\underbrace{a3ba3b \, \cdots \, a3b}_{51 dígitos} \, um múltiplo de 36, calcule a soma \boxed{a+b}, sabendo que a é um número ímpar.

Problema 18: Os critérios de divisibilidade por 4, 8 e 16 admitem uma generalização:

Um número natural n é divisível por 2^r se, e somente se, …

Que generalização é essa? Justifique sua resposta.

  • As potências de 10, a partir do 100=10^2, são todas divisíveis por 4; mas 10 não é divisível por 4: analisamos os dois últimos algarismos.
  • As potências de 10, a partir do 1000=10^3, são todas divisíveis por 8; mas 10 e 100 não são divisíveis por 8: analisamos os três últimos algarismos.
  • As potências de 10, a partir do 10000=10^4, são todas divisíveis por 16; mas 10, 100 e 1000 não são divisíveis por 16: analisamos os quatro últimos algarismos.

Problema 19: Encontre todos os número naturais não nulos x \, e \, y tais que \, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}.

Pares (x \, , \, y) dados por (7, 42) \, ; \, (8, 24) \, ; \, (9, 18) \, ; \, (10, 15) \, ; \, (12, 12) \, ; \, (15, 10) \, ; \, (18, 9) \, ; \, (24, 8) \, ; \, (42, 7)

Problema 20: Mostre que o único número natural que divide simultaneamente 2^{16} + 1 \, e \, 2^{32} + 1 \, é o \, 1.

Problema 21: Os critérios de divisibilidade por 6, 12, 14 e 15, também, admitem uma generalização.
Que generalização é essa? Justifique sua resposta.

  • 6=2\times 3; \qquad 12=3\times 4; \qquad 14=2\times 7; \qquad 15=3\times 5


Equipe COM – OBMEP

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