.Problemão: Tangente e tangentes

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


Sabendo que [tex]\,\boxed{tg (\alpha) + tg(\beta)=p}\;[/tex] e [tex]\;\boxed{cotg(\alpha) + cotg(\beta)=q}[/tex], determine [tex]\,tg(\alpha + \beta)[/tex].

Solução


Caso esteja definida [tex]tg( \alpha + \beta)[/tex], então:

[tex]\quad tg(\alpha + \beta)=\dfrac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}=\dfrac{p}{1-tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}\,.\qquad [/tex] (1)

Além disso, temos que:

[tex]\quad q = cotg(\alpha) + cotg(\beta)= \dfrac{1}{tg(\alpha)}+\dfrac{1}{tg(\beta)}=\dfrac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}=\dfrac{p}{tg(\alpha) \cdot tg(\beta)}\,.\qquad [/tex] (2)

Da equação (2) podemos deduzir que ou [tex]\,p\,[/tex] e [tex]\,q\,[/tex] são ambos iguais a zero ou ambos diferentes de zero.

[tex]1^o[/tex] Caso: Se [tex]p=q=0[/tex], então de (1) temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$tg(\alpha+\beta)=0$}[/tex]. Aqui, faz-se necessário verificar se o denominador de (1) não se anula.
De fato, como [tex]p=0[/tex], temos [tex]tg(\alpha)=- tg(\beta)[/tex] e, portanto, [tex]~1-tg(\alpha) \cdot tg(\beta)=1+ tg^2(\alpha)>0.[/tex]

[tex]2^o[/tex] Caso: Se [tex]p \neq 0[/tex], [tex]q \neq 0[/tex] e [tex]p \neq q[/tex], então (2) indica que [tex]tg (\alpha) \cdot tg(\beta)=\dfrac{p}{q}[/tex] o que, junto com (1), implica que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$tg( \alpha + \beta)=\dfrac{p\,q}{q-p}$}[/tex].

[tex]3^o[/tex] Caso: Se [tex]p \neq 0[/tex], [tex]q \neq 0[/tex] e [tex]p = q[/tex], então [tex]tg(\alpha + \beta)[/tex] não está definida, pois teríamos, a partir de (2), que [tex]tg(\alpha) \cdot tg(\beta)=1[/tex] e isso faria com que o segundo membro de (1) tivesse denominador nulo.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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