Observem a sequência dos nove números que aparecem nessa diagonal alaranjada: [tex] \left(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 , 45\right)[/tex].
Que números são esses?
Talvez a próxima imagem possa ajudar…
Os sete primeiros números, [tex] \,1, 3, 6, 10, 15, 21, 28\,[/tex], formam a sequência dos sete primeiros números triangulares!
Se vocês visitarem esta Sala, vocês poderão acompanhar a demonstração de que a fórmula a seguir define o [tex]n-[/tex]ésimo número triangular
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{#68a597}{#ffffff}{$\,T_n=\dfrac{n+n^2}{2}\,$}\,[/tex].
Assim, como
[tex]\qquad T_8=\dfrac{8+8^2}{2}=36[/tex]
[tex]\qquad T_9=\dfrac{9+9^2}{2}=45[/tex],
então [tex] \left(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 , 45\right)[/tex] é a sequência dos nove primeiros números triangulares e, com isso, conseguimos ilustrar mais uma propriedade.
Dos segredos iniciais, o próximo é o menos trivial dentre os apresentados até agora; mas é muito legal!
Segredo 5: As entradas da diagonal azul formam a sequência dos chamados números tetraédricos (ou piramidais):
Precisam de ajuda, não é? É só clicar no botão abaixo.
Vamos começar pelo início.
Um tetraedro regular é um tipo especial de pirâmide cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.
Por sua vez, um número tetraédrico (ou número piramidal triangular) é um número figurado que pode ser representado por um tetraedro. De maneira figurada, podemos “empilhar números triangulares” para formar números tetraédricos; e, olhando dessa forma, um número tetraédrico é obtido ao somarmos o número de esferas necessárias para construirmos um tetraedro, conforme ilustra a próxima figura.
Observe que o número de esferas de cada tetraedro construído é um número triangular, então os números tetraédricos são obtidos pela soma sequencial dos números triangulares.
Como conhecemos a sequência dos números triangulares, podemos calcular mais alguns tetraédricos:
Imagem adaptada de 