Problema
Em um tabuleiro [tex]3\times3[/tex] devemos escrever os números [tex]1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9[/tex], de acordo com as seguintes regras:
- Nos quatro cantos devemos escrever somente números primos.
- No centro não podemos escrever um quadrado perfeito.
De quantas formas podemos fazer isto?
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
- Temos quatro cantos e quatro números primos: [tex]\, 2;\, 3;\, 5;\, 7[/tex].
Assim, o primeiro canto pode ser preenchido de quatro maneiras, o segundo pode ser preenchido de três maneiras, o terceiro pode ser preenchido de duas maneiras e o quarto só poderá ser preenchido com o primo que sobrou, totalizando, então, [tex]4\times3\times2\times1=24[/tex] formas de preencher os cantos. - No centro, não podemos escrever os números que são quadrados perfeitos: [tex]\, 1;\, 4;\, 9[/tex].
Assim, sobram só duas maneiras de preenchê-lo: ou com o algarismo [tex]6[/tex] ou com o algarismo [tex]8[/tex]. - Sobram, assim, quatro lugares vagos e quatro números que ainda não foram usados: [tex]\, 1;\, 4;\, 9[/tex] e o algarismo que não foi utilizado no centro.
Assim, o primeiro lugar vago pode ser preenchido de quatro maneiras, o segundo pode ser preenchido de três maneiras, o terceiro pode ser preenchido de duas maneiras e o quarto só poderá ser preenchido com o número que sobrou, totalizando [tex]4\times3\times2\times1=24[/tex] formas de preencher os lugares que restaram.
Logo, podemos preencher o tabuleiro, de acordo com as regras do problema, de [tex]24\times2\times24=1152[/tex] formas.
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Jonas Cassiano Costa.