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Problemas propostos

Problemas Propostos



Problema 1 – Calcule as seguintes expressões. Confira as respostas com o auxílio da maquineta ou de uma calculadora apenas depois de realizar os cálculos.

a) [tex] 4! + 3! [/tex]
b) [tex] 7! [/tex]
c) [tex] 3! \cdot 2! [/tex]
d) [tex] 6! [/tex]
e) [tex]\dfrac{0!}{1!}[/tex]

Problema 2 – Simplifique as frações (sem utilizar a maquineta…):

a) [tex]\dfrac{10!}{8!}[/tex]
b) [tex]\dfrac{15!\cdot9!}{14!\cdot10!}[/tex]
c) [tex]\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!}[/tex]
d) [tex]\dfrac{(n+2)!}{(n+3)!}[/tex]
e) [tex]\dfrac{(n-5)!}{(n-7)!}[/tex]
f) [tex]\dfrac{(n-5)!}{(n-3)!}[/tex]

Problema 3 – Resolva a equação [tex]\dfrac{(n-1)!}{(n-3)!}=6[/tex].

Problema 4 – (U. Católica de Salvador-BA – adaptado) Simplifique a fração [tex]\dfrac{(n+1)!\cdot n!}{n!}[/tex].

Problema 5 – O hodômetro de um automóvel apresenta uma sequência de oito quadrinhos, nos quais nos cinco primeiros é representado o número de quilômetros rodados e nos três últimos é representado o número de metros rodados. Por exemplo, o registro

[tex]\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 0 & 1 & 2 & 7 & 5 & \colorbox{#D3D3D3}{0} & \colorbox{#D3D3D3}{3} & \colorbox{#D3D3D3}{4} \\ \hline \end{array}[/tex]

indica 1.275,034 km.
Desde o momento em que esse veículo sai da fábrica com o hodômetro zerado

[tex]\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \colorbox{#D3D3D3}{0} & \colorbox{#D3D3D3}{0} & \colorbox{#D3D3D3}{0} \\ \hline \end{array}[/tex]

até o momento em que é registrada a marca

[tex]\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & \colorbox{#D3D3D3}{9} & \colorbox{#D3D3D3}{9} & \colorbox{#D3D3D3}{9} \\ \hline \end{array}[/tex]

todos os quadrinhos apresentam os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O total de números com pelo menos dois algarismos iguais que podem ser lidos nesse hodômetro é:

a) [tex] 10^8-\dfrac{10!}{2} [/tex]
b) [tex] 10! [/tex]
c) [tex] 9 \cdot10^7 [/tex]
d) [tex] 9 \cdot (10^7 – 9!) [/tex]
e) [tex] 10^ 8[/tex]

Problema 6 – (UFPA) O produto dos 30 primeiros números pares positivos é igual a:

a) [tex] 60! [/tex]
b) [tex] 30! [/tex]
c) [tex] 2 . (60!)^2 [/tex]
d) [tex] 2^2 . 60! [/tex]
e) [tex] 2^{30} . 30! [/tex]

Problema 7 – Um anagrama é uma palavra formada pelo rearranjo das letras de outra palavra. A própria palavra é considerada um anagrama de si mesma. Os anagramas da palavra SAL, por exemplo, são: SAL, SLA, LAS, LSA, ALS e ASL. Com a palavra EDITORA:

a) quantos anagramas podemos formar?
b) quantos anagramas começam pela letra R?
c) quantos anagramas começam pela sílaba RA?

Problema 8 – (PUC-SP – adaptado) Uma palavra é formada por n letras distintas, sendo B uma delas. Qual é o número de anagramas dessa palavra que não começam por B?

Problema 9 – (Fuvest-SP – adaptado) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 “palavras” (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, quais são as duas primeiras letras da 250ª “palavra”?

Problema 10 – Escrevendo em ordem crescente todos os números naturais de cinco algarismos distintos formados por 1, 2, 3, 4 e 5, qual é a ordem (número da posição) do número 32.415?



Equipe COM – OBMEP

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