Probabilidade Frequencial
Na prática, existem inúmeras situações em que precisamos estimar a probabilidade de um evento, mas não podemos calculá-la com o que apresentamos nas Salas 1, 2 e 3.
Qual é a probabilidade de um avião cair? Qual é a probabilidade de que um carro seja roubado? Qual é a probabilidade de que um estudante, entrando numa universidade, termine seu curso?
Respostas para esses tipos de situação são importantes e, como não podemos calcular essas probabilidades, tudo o que podemos fazer é observar com que frequência esses fatos ocorrem. A partir de um grande número de observações, dividindo o número de vezes que determinado fato ocorreu pelo número de observações feitas, obtemos uma estimativa da probabilidade de um evento.
Essa visão "frequentista" para cálculo de probabilidades tem suas origens com a Lei dos Grandes Números, importante resultado da teoria das probabilidades estabelecido pelo matemático suíço Jakob Bernoulli. Jakob Bernoulli levou mais de vinte anos para provar a fórmula matemática, que foi publicada em seu livro "A Arte da Conjectura" (Ars Conjectandi) por seu sobrinho Nicolau Bernoulli em 1713:
– quanto maior o número de tentativas (repetições do experimento), mais a proporção de tentativas bem-sucedidas (frequência relativa de ocorrência do evento de interesse) se aproxima da probabilidade de o evento de interesse ocorrer.
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
A observação da frequência com que ocorrem certos eventos pode também ser especialmente utilizada em muitas situações práticas em que os eventos observados, embora simples, não são equiprováveis dentro de seus respectivos espaços amostrais e, portanto, não podemos calcular suas probabilidades utilizando, por exemplo, probabilidade clássica.
Por estarem fortemente ligadas ao cálculo de probabilidades, Frequências Relativas são os objetos centrais desta Sala.
Frequência relativa
Antes de definirmos formalmente o objeto matemático Frequência Relativa, vamos observar a seguinte situação:
- Em um determinado município, foi realizada uma pesquisa com [tex]500[/tex] eleitores, para avaliar a intenção de voto na eleição para prefeito. Havia três candidatos a prefeito e cada eleitor respondeu somente uma pergunta: Em qual dos três candidatos você pretende votar?
Terminada a pesquisa, foram obtidos os seguintes dados:
Candidato 1: [tex]100[/tex] eleitores;
Candidato 2: [tex]160[/tex] eleitores;
Candidato 3: [tex]210[/tex] eleitores;
Em nenhum candidato: 30 eleitores.
Observamos que, para facilitar a interpretação de uma pesquisa, é comum transformar os dados (chamados de frequência absoluta) em dados percentuais relativos ao total das pessoas pesquisadas para apresentá-los na forma de tabelas e gráficos. Para isso, no nosso caso vamos utilizar quatro "regrinhas de três simples".
[tex]\begin{array}{c c c |l}
\qquad 100\% & \text{———}& 500\text{ eleitores}\quad&\quad 500x=100 \cdot 100\% \\
\qquad x\ & \text{———}& 100\text{ eleitores}\quad&\quad x=\boxed{\dfrac{100}{500}}\cdot 100\% =20\%\end{array}\\
\,[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c |l}
\qquad 100\% & \text{———}& 500\text{ eleitores}\quad&\quad 500x=160 \cdot 100\% \\
\qquad x\ & \text{———}& 160 \text{ eleitores}\quad&\quad x=\boxed{\dfrac{160}{500}}\cdot 100\% =32\%\end{array}\\
\,[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c |l}
\qquad 100\% & \text{———}& 500\text{ eleitores}\quad&\quad 500x=210 \cdot 100\% \\
\qquad x\ & \text{———}& 210 \text{ eleitores}\quad&\quad x=\boxed{\dfrac{210}{500}}\cdot 100\% =42\%\end{array}\\
\,[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c |l}
\qquad 100\% & \text{———}& 500\text{ eleitores}\quad&\quad 500x=30 \cdot 100\% \,\\
\qquad x\ & \text{———}& \,30 \text{ eleitores}\quad&\quad x=\boxed{\dfrac{30}{500}}\cdot 100\% =6\%\;\,\end{array}\\
\,[/tex]
Os quocientes destacados (respectivas quantidades pelo total de eleitores) é o que definiremos como frequências relativas e estas podem ser apresentadas na forma de porcentagem, como fizemos.
Assim, com relação ao grupo de [tex]500[/tex] entrevistados na pesquisa, podemos considerar:
– Experimento: escolhida uma pessoa ao acaso, em que candidato ela votaria?;
– Evento [tex]E_1[/tex]: Votaria no Candidato 1;
– Evento [tex]E_2[/tex]: Votaria no Candidato 2;
– Evento [tex]E_3[/tex]: Votaria no Candidato 3;
– Evento [tex]E_4[/tex]: Nenhum dos candidatos;
e, nesse caso, temos uma maneira, digamos, prática de atribuirmos a cada um dos quatro eventos um número que avalie as suas chances de ocorrência. Esse exemplo simples ilustra e motiva a definição apresentada a seguir.
Suponhamos que esse experimento seja repetido nas mesmas condições [tex]n[/tex] vezes, [tex]n \gt 0[/tex], e nestas o evento [tex]E[/tex] ocorra exatamente [tex]m[/tex] vezes, [tex]m\leqslant n[/tex].
Então, a frequência relativa de vezes que o evento [tex]E[/tex] ocorreu, ou simplesmente a frequência relativa de [tex]E[/tex], é denotada por [tex]fr(E)[/tex] e assim definida:
[tex]\boxed{fr(E)=\dfrac{\,m\,}{n}}\,.[/tex]
Observação importante: Como [tex]0 \leqslant m\leqslant n[/tex], então [tex]\boxed{0 \leqslant fr(E) \leqslant 1}\,.[/tex]
Quando for necessário utilizar porcentagem para expressar uma frequência relativa, lembre-se de multiplicar o resultado da divisão [tex]\dfrac{\,m\,}{n}[/tex] por [tex]100[/tex], ou de utilizar uma regra de três.
Voltando ao exemplo, vemos que:
[tex] \qquad fr(E_1)=0,2[/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_1)=20\%[/tex].
[tex] \qquad fr(E_2)=0,32[/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_2)=32\%[/tex].
[tex] \qquad fr(E_3)=0,42[/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_3)=42\%[/tex].
[tex] \qquad fr(E_4)=0,06[/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_4)=6\%[/tex].
Observamos que a frequência relativa de um evento pode sempre ser calculada; mas para que a frequência relativa de um evento [tex]E[/tex] mostre, de fato, a chance de [tex]E[/tex] ocorrer, o experimento aleatório ao qual o evento está associado deve ser repetido muitas vezes. Isso porque somente se o experimento se repetir um número muito grande de vezes é que a frequência relativa de um evento se estabilizará próxima de algum número. Dessa forma, não é porque você fez quatro lançamentos de uma moeda e obteve três caras e apenas uma coroa que, em um lançamento qualquer, a chance de se obter cara é [tex]\dfrac{3}{4}[/tex] ([tex]75\%[/tex]) e a chance de se obter coroa é [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] ([tex]25\%[/tex]).
Com a discussão a seguir, essas ideias ficarão mais claras!
Probabilidade Frequencial
Quando os elementos de um espaço amostral NÃO têm a mesma probabilidade de ocorrer, a definição clássica da probabilidade NÃO pode ser utilizada. Mas, particularmente, a probabilidade de um evento desse espaço amostral pode ser estimada utilizando-se a frequência da ocorrência do evento na repetição do experimento por um grande número de vezes.
Essa é a chamada interpretação frequentista de probabilidade, sendo que a probabilidade do evento é definida como a frequência relativa de ocorrência deste evento, desde que, de fato, o experimento for repetido, sob as mesmas condições, um grande número de vezes. Veja a próxima definição.
Suponhamos que esse experimento seja repetido [tex]n[/tex] vezes e seja [tex]fr(E)[/tex] a frequência relativa do evento [tex]E.[/tex]
A probabilidade de [tex]E[/tex] é definida como sendo [tex]fr(E)[/tex], quando [tex]n[/tex] é um número natural muito grande e cada vez maior do que qualquer número que possamos imaginar!
Matematicamente falando, a probabilidade de [tex]E[/tex] é definida como o limite de [tex]fr(E)[/tex] quando [tex]n[/tex] tende ao infinito; em símbolos:
[tex]\qquad \qquad \boxed{P(E)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} fr(E)}\,.[/tex]
Deve-se notar que as frequências relativas do evento [tex]E[/tex] são aproximações da probabilidade de [tex]E[/tex]. As duas se igualam apenas no limite de infinitos experimentos. Em geral, para um valor de [tex]n[/tex] razoavelmente grande, [tex]fr(E)[/tex] é uma boa aproximação para [tex]P(E).[/tex]
Observe também que em espaços amostrais finitos e equiprováveis, o número em torno do qual a frequência relativa de um evento se estabilizará próxima é o que definimos como Probabilidade Clássica ou Probabilidade de Laplace: a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral ou, se preferir, a razão [tex]\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}[/tex].
Essa aproximação provoca uma observação interessante que inclusive serve para renomear a frequência relativa e a probabilidade clássica, já que, não raramente, a probabilidade clássica e a frequência relativa são, respectivamente, denominadas de "probabilidade a priori" e "probabilidade a posteriori" uma vez que a primeira é obtida antes até de um experimento acontecer e a segunda é obtida após várias realizações do experimento.
Por exemplo, se formos lançar um dado não viciado sabemos "a priori" que a probabilidade de encontrarmos um número par é [tex]1/2[/tex]. Agora, se lançarmos esse mesmo dado [tex]n[/tex] vezes (com [tex]n[/tex] muito grande), verificaremos "a posteriori" que a distribuição dos valores que encontraremos para as frequências relativas tendem ao valor previsto "a priori".
Vimos que a experiência de se lançar uma moeda honesta e verificar a face voltada para cima, depois da queda, tem como espaço amostral o conjunto [tex]\{[/tex]cara , coroa[tex]\}[/tex]. Intuitivamente, espera-se que a frequência relativa aos eventos "obter cara" e "obter coroa" seja de [tex]50\%[/tex] cada, ou seja, metade dos lançamentos obtemos cara e a outra metade, coroa. Observem:
► Pearson jogou uma moeda [tex]24\,000[/tex] vezes e obteve [tex]12\,012[/tex] caras; o que resulta em uma frequência relativa de [tex]\dfrac{12012}{24000}= 0,5005[/tex], ou seja, [tex]50,05\%[/tex] de caras.
► Kerrich jogou uma moeda [tex]10\,000[/tex] vezes e obteve [tex]5\,067[/tex] caras; o que resulta em uma frequência relativa de [tex]\dfrac{5067}{10000}= 0,5067[/tex], ou seja, [tex]50,67\%[/tex] de caras.
Vale a pena insistir que, para considerarmos a probabilidade de um evento como o número ao redor do qual oscila a frequência relativa do evento, é necessário realizar o experimento estudado diversas vezes, cientes de que, quanto mais vezes o experimento for realizado, mais a frequência relativa se aproxima da probabilidade de o evento acontecer.
Assim, quando lançamos um dado não viciado [tex]60[/tex] vezes, não iremos obter o valor [tex]2[/tex], por exemplo, em exatamente [tex]10[/tex] lançamentos. Ao lançarmos o dado [tex]6000[/tex] vezes, ainda não vamos obter o [tex]2[/tex] em exatamente [tex]1000[/tex] lançamentos; no entanto, o "número de vezes em que o [tex]2[/tex] sairá", dividido por [tex]6000[/tex], deverá estar mais próximo de [tex]1/6[/tex] do que o "número de vezes em que o [tex]2[/tex] saiu em [tex]60[/tex] lançamentos" dividido por [tex]60[/tex]. Ou seja, a frequência relativa a [tex]6000[/tex] lançamentos está mais próxima de [tex]1/6[/tex] do que a frequência relativa a [tex]60[/tex] lançamentos.
Este exemplo ilustra a chamada Lei dos Grandes Números, apresentada a seguir.
A imposição de que os eventos sejam igualmente prováveis é fundamental para que esta lei seja observada.
Assim, a Lei dos Grandes Números garante que, quanto mais tentativas forem realizadas, mais as frequências relativas dos resultados observados irão se aproximar da probabilidade real. Talvez você entenda melhor essa lei com um exemplo.
Use o aplicativo abaixo para acompanhar [tex]1500[/tex] lançamentos do dado e observar como a frequência relativa se aproxima da probabilidade [tex]1/6[/tex], à medida que o número de lançamentos aumenta.
Depois de o aplicativo carregar completamente (este aplicativo demora um pouquinho para carregar), você visualizará:
- um controle para a quantidade de lançamentos (um ponto e um segmento azuis);
- um quadro para os registros do número de lançamentos, do número de visualizações da face [tex]5[/tex] nos lançamentos efetuados e da frequência relativa correspondente ao número de lançamentos efetuados.
- um plano cartesiano com uma linha tracejada que representará a probabilidade [tex]1/6[/tex] correspondente à obtenção da face [tex]5[/tex] nos lançamentos do dado.
A medida que os lançamentos forem sendo executados, a cada lançamento será calculada a frequência relativa correspondente aos lançamentos acumulados realizados até aquele momento. Essas frequências vão sendo marcadas como pontos do plano cartesiano: a coordenada [tex]x[/tex] corresponde ao número de lançamentos efetuados; a coordenada [tex]y[/tex] corresponde à frequência relativa.
Você poderá utilizar o aplicativo manualmente ou automaticamente.
Instruções:
(1) Para utilizar o aplicativo manualmente, basta clicar com o botão esquerdo do mouse sobre ponto azul, manter o botão pressionado e movimentar lentamente o ponto azul da esquerda para direita.
Para voltar à configuração inicial, clique no ponto azul com o botão esquerdo do mouse e, mantendo o botão pressionado, desloque o ponto para a esquerda, no início do segmento.
(2) Para utilizar o aplicativo automaticamente, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto azul e na janelinha que se abrirá selecione a opção Animação, clicando com o botão esquerdo do mouse sobre o quadradinho correspondente a essa opção.
Pronto, agora é só observar a marcação das frequências no plano cartesiano.
Para parar a animação, clique no ícone || que aparece dentro de um pequeno círculo, no canto inferior esquerdo do aplicativo, enquanto a animação está ocorrendo. Para reiniciar a animação, clique na setinha ► que substituiu o ícone || no canto inferior esquerdo.
Para voltar à configuração inicial, clique no ponto azul com o botão esquerdo do mouse e, mantendo o botão do mouse pressionado, desloque o ponto para a esquerda, no início do segmento.
OBMEP_srg, criado com o GeoGebra
Que tal vocês fazerem algumas atividades para amadurecer essas ideias?
Mas antes, lembrem-se de que as teorias da Probabilidade são apenas modelos
e modelos não são a "REALIDADE" e nem a "VERDADE"!
Simulações
Apresentamos a seguir alguns problemas que podem ser resolvidos pela probabilidade de Laplace acompanhados de aplicativos que permitem fazer simulações e comparar as respectivas probabilidades a priori e a posteriori.
Uma simulação é um processo artificial utilizado para imitar o comportamento de um fenómeno aleatório e, particularmente, usaremos a definição frequentista para o cálculo da probabilidade de um evento [tex]A[/tex] em casos para os quais os resultados possíveis são igualmente prováveis. Para os eventos apresentados, o que se espera é que, após um grande número de repetições, o valor a posteriori obtido pelo método empírico se aproxime do valor previsto pela definição da probabilidade a priori de cada evento.
Antes de vocês iniciarem o trabalho, talvez seja bom citarmos uma frase atribuída ao estatístico britânico George Box:
Enfim, todos os modelos são imperfeitos; mas alguns modelos são úteis.
Bom trabalho, pessoal!
Uma moeda honesta tem dois lados (cara e coroa) com a mesma chance de aparecer quando a moeda é jogada para cima.
No lançamento de uma moeda honesta, qual é a probabilidade de se obter cara?
Imagem extraída de https://play.google.com
(1) Solução a priori:
Temos um espaço amostral finito em que os eventos elementares são igualmente prováveis, pois a moeda a ser lançada é honesta. O espaço amostral é [tex]\Omega=\{cara, \, coroa\}[/tex] e o evento de interesse é [tex]E=\{cara\}[/tex]. Assim, utilizando probabilidade de Laplace/Clássica:
[tex]\quad\quad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(E)=\dfrac{1}{2}=0,5$}\,.[/tex]
Percentualmente, [tex]\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(E)=50\%$}\,.[/tex]
(2) Solução a posteriori:
Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo e seguir os passos indicados.
No lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade de se obter [tex]1[/tex] na numeração da face voltada para cima?
(1) Solução a priori:
Temos um espaço amostral finito em que os eventos elementares são igualmente prováveis, pois estamos supondo que o dado seja equilibrado. O espaço amostral é [tex]\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}[/tex] e o evento de interesse é [tex]A=\{1\}[/tex]; portanto:
[tex]\quad\quad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A)=\dfrac{1}{6}\approx 0,1667$}\,.[/tex]
Percentualmente, [tex]\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A)\approx 16,67\%$}\,.[/tex]
(2) Solução a posteriori:
Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo e seguir os passos indicados.
No lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade de se obter a numeração da face voltada para cima maior que [tex]3[/tex]?
(1) Solução a priori:
Temos um espaço amostral finito em que os eventos elementares são igualmente prováveis, pois estamos supondo que o dado seja equilibrado. O espaço amostral é [tex]\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}[/tex] e o evento de interesse é [tex]A=\{4, 5, 6\}[/tex]; portanto:
[tex]\quad\quad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A)=\dfrac{3}{6}=0,5$}\,.[/tex]
Percentualmente, [tex]\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A)=50\%$}\,.[/tex]
(2) Solução a posteriori:
Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo e seguir os passos indicados.
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja [tex]7[/tex]?
(1) Solução a priori:
Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\
\hline
2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\
\hline
3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\
\hline
4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\
\hline
5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\
\hline
6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\
\hline
\end{array}[/tex]
Observamos com a tabela que temos [tex]36[/tex] pares ordenados possíveis de números mostrados nas faces voltadas para cima de cada dado e podemos considerar para o experimento o espaço amostral [tex]\Omega=\{(1,1);(1,2); (1,3); \ldots ;(6,4); (6,5);(6,6)\}[/tex]. Neste caso, [tex]n\left(\Omega\right)=36\,[/tex] e [tex]\;\Omega[/tex] é equiprovável, já que os dados são equilibrados.
Utilizando a tabela, vemos que as situações favoráveis a obter soma [tex]7[/tex] são:
[tex]\qquad (1,6)[/tex], [tex](2,5)[/tex], [tex](3,4)[/tex], [tex](4,3)[/tex], [tex](5,2)[/tex] e [tex](6,1)[/tex].
Consequentemente a probabilidade do evento em questão é:
[tex]\qquad P\left(\{7\}\right)=\dfrac{\text{casos possíveis}}{\text{casos favoráveis}}\\
\qquad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P\left(\{7\}\right)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$}\,.\\
\,[/tex]
(2) Solução a posteriori:
Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo e seguir os passos indicados.
Imagine que você está de frente para três portas numeradas – 1, 2 e 3 – e o apresentador diz:
– Atrás de uma dessas portas tem um carro; mas atrás de cada uma das outras duas tem um bode. Escolha uma porta e leve para casa o que estiver atrás dela.
Você vai lá e escolhe uma das três portas; mas antes que você possa abri-la, o apresentador (que sabe exatamente onde está o carro) pede para você esperar e ele abre uma das portas não escolhidas, mostrando um dos bodes. Nesse momento ele faz a seguinte pergunta a você:
– Você quer ficar com a porta que você escolheu ou quer trocá-la pela outra porta fechada?
Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta?
(1) Solução a priori:
(a) A princípio, quando escolhemos uma das portas, a probabilidade de ganhar o carro era de [tex]\dfrac{1}{3}[/tex]. As outras duas portas não escolhidas tinham, em conjunto, uma probabilidade de [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] de ocultarem o carro.
Não existe razão para que essa probabilidade mude após o apresentador ter aberto uma das portas não premiadas e, quando uma dessas portas é aberta (por esconder um bode), a porta não escolhida que continua fechada passa a acumular [tex]\dfrac{2}{3}[/tex] da probabilidade de ser a porta que esconde o carro.
(b) A argumentação anterior é mais facilmente entendida se aumentarmos o número de portas.
Suponhamos [tex]1\,000[/tex] portas: em uma porta tem um carro e nas outras [tex]999[/tex] têm bodes.
Escolhemos uma dessas [tex]1\,000[/tex] portas e o apresentador abre [tex]998[/tex] portas com bodes; ficam fechadas só a porta escolhida e mais uma, sendo que uma tem um bode e uma tem um carro.
Inicialmente, a probabilidade de termos escolhido o carro em [tex]1\,000[/tex] portas era uma em mil, isto é, [tex]\frac{1}{1000}= 0,1\%.[/tex] Então, a chance de ter um carro em outra porta era [tex]99,9\%.[/tex] Dessa forma, depois de abertas as [tex]998[/tex] portas com bodes, a sua escolha é: [tex]0,1\%[/tex] ou [tex]99,9\%[/tex] de probabilidade de ganhar o carro!
(2) Solução a posteriori:
(a) Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo e seguir os passos indicados.
(b) Façam simulações utilizando um aplicativo. É só clicar no botão abaixo.
Equipe COM – OBMEP