Princípio Fundamental da Contagem – Iniciando o tema

Problema I:
Raíza tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai à escola de segunda a sexta, mas não quer repetir um mesmo conjunto de calça e camiseta na mesma semana.
Raíza conseguirá realizar seu desejo?

Solução:
       ● Se ela quer usar a primeira calça, pode combiná-la com qualquer uma das três camisetas, o que nos dá 3 visuais diferentes.
       ● Se ela usar a segunda calça, também vai poder combiná-la em 3 modelitos, um com cada camiseta.
O total de maneiras de combinar as peças é 3+3, ou seja, 2 × 3 = 6.
Então, Raíza conseguirá realizar o seu desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look, e ainda sobrará um look para o fim de semana…

Observações:
➊ No problema resolvido, Raíza tinha que escolher uma calça e uma camiseta para vestir. São duas escolhas ou decisões.
➋ Note que, se Raíza vestir qualquer uma das duas calças, isso não a impedirá de escolher entre três camisetas distintas. Para qualquer escolha da calça, há o mesmo número de escolha de camisetas.
➌ Como vimos, continuaremos com a mesma quantidade de possibilidades para a escolha da camiseta em cada escolha de calça. Então, podemos chegar à resposta multiplicando o número de calças pelo número de camisetas, obtendo assim os 2 × 3 = 6 looks possíveis.
➍ Sem comprometer a generalidade do problema, podemos supor “que Raíza tenha uma calça preta, uma calça branca e que suas camisetas sejam vermelha, amarela e verde” e, assim, visualizar a quantidade de looks possíveis, utilizando o diagrama abaixo.

    Esse tipo de diagrama é conhecido como diagrama de árvore.

Problema II: Quantos diferentes percursos o ratinho da figura pode tomar para chegar ao queijo?

Solução:
Assim que entra no labirinto, o ratinho se depara com a necessidade de escolher um dentre 2 caminhos.
Quando ele segue qualquer um dos dois caminhos, depara-se com 4 outras possibilidades de caminho e precisa escolher um. Percorrido o caminho escolhido, ele encontra o queijo.
Perceba, então, que a quantidade total de possibilidades para o percurso a ser seguido é 2 x 4=8.

Problema III: O majestoso rei Tim Timpor Tintim decidiu padronizar os azulejos de seu palácio.
Ele os quer em forma de hexágonos regulares, com um pequeno círculo em seu interior.
O rei dispõe, segundo suas preferências pessoais, de 3 cores distintas para pintar o hexágono e de 4 cores distintas para pintar o círculo. Sabendo que as duas formas (hexágono e círculo) serão unicolores, quantas são as opções para o novo modelo de azulejo?

Solução:
Para cada uma das cores escolhidas para o hexágono, haverá 4 opções de cores para o círculo. Portanto, para cada opção de cor a ser utilizada no hexágono, há 4 azulejos possíveis. Como temos 3 opções de cores para o hexágono, há 3 × 4=12 opções para o azulejo do rei Tim.
Podemos elucidar nossa solução utilizando um diagrama de árvore que ilustra todas as possibilidades. Suponha que as cores selecionadas para o hexágono sejam “preto”, “vermelho” e “verde”, enquanto as cores selecionadas para o círculo são “azul”, “amarelo”, “roxo” e “marrom”. (Observe que a solução será a mesma para quaisquer opções de cores. Elas foram nomeadas, apenas, para facilitar o seu entendimento.)
Teremos, assim, as possibilidades ilustradas pelo diagrama a seguir.

Problema IV:
Numa reunião havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Ceará.
Quando o grupo se reuniu, cada professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Ceará exatamente uma vez.
Quantos cumprimentos ocorreram?

Solução:
Como cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Ceará, o total de cumprimentos é o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do Sul e um do Ceará, simultaneamente.
Pelo Princípio Multiplicativo, o total é 6 x 7, ou seja, 42 cumprimentos.

Problemas Propostos