Sala de Estudo: Médias e Desigualdades

Médias e Desigualdades

É muito comum nos depararmos com problemas de máximos e mínimos de expressões algébricas e, por algumas vezes, termos que interpretar geometricamente as desigualdades entre as médias, bem como as condições para a sua igualdade. Isso porque as desigualdades algébricas e suas propriedades são ferramentas poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas envolvendo desigualdades geométricas e cálculo de máximos e mínimos. A mera observação de propriedades simples das desigualdades serve para esclarecer alguns aspectos que certos problemas levantam, como por exemplo:

► Dado um retângulo de perímetro fixo, quais as medidas de suas dimensões para que sua área seja máxima?

Nesta Sala de Estudos, apresentaremos cinco Médias e algumas Desigualdades importantes que as relacionam. Apresentaremos também algumas aplicações do conteúdo desenvolvido, na forma de exemplos e problemas propostos.

Vamos lá?

Bons Estudos, pessoal!

I – As Médias

De maneira bem informal, uma média de uma lista de números reais é um valor que pode substituir todos os números dessa lista sem alterar determinada característica dela:

se essa característica for a soma dos elementos da lista, utiliza-se a média aritmética;
se essa característica for o produto dos elementos da lista, utiliza-se a média geométrica;
se essa característica for a soma dos inversos dos elementos da lista, utiliza-se a média harmônica;
se essa característica for a soma dos quadrados dos números da lista, utiliza-se a média dos quadrados.

Então, são estas as Médias que utilizaremos:

► Média Aritmética – Denominamos Média Aritmética dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MA[/tex] e assim definido:

[tex]\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}}.[/tex]

A Média Aritmética preserva a soma dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}[/tex], segue que
[tex]\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1+a_2+a_3+\dots+a_n $}&= n \cdot MA\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MA+MA+MA+\cdots+MA}_{\text{n vezes}}$}\, .\end{align*} [/tex]
A Média Aritmética dos valores [tex]x_1, x_2, x_3, \dots, x_m[/tex] é habitualmente denotada por [tex]\overline{X}.[/tex] Assim, a Média Aritmética dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] fixados poderia ser, também, denotada por[tex]\overline{A}.[/tex]

► Média Geométrica – Denominamos Média Geométrica dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MG[/tex] e assim definido:

[tex]\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}}.[/tex]

A Média Geométrica preserva o produto dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}[/tex], temos que
[tex]\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3\cdot \, \dots \, \cdot a_n$}&= \left(MG\right)^n\\
&= \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MG \cdot MG \cdot MG \cdot \, \cdots \, \cdot MG}_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}[/tex]

► Média Harmônica – Denominamos Média Harmônica dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MH[/tex] e assim definido:

[tex]\boxed{MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}} \, [/tex],

ou seja, é o inverso da Média Aritmética dos inversos dos valores.
A Média Harmônica preserva a soma dos inversos dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}[/tex], concluímos que
[tex]\qquad \begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$}&=\dfrac{n}{MH}\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \, \cdots \, + \dfrac{1}{MH}
}_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}[/tex]

► Média dos Quadrados – Denominamos Média dos Quadrados (ou média Quadrática) dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]MQ[/tex] e assim definido:

[tex]\boxed{MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}}.[/tex]

A Média dos Quadrados preserva a soma dos quadrados dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De [tex] \, MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}[/tex], segue que
[tex]\quad \begin{align*} \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2$}&= n\left(MQ\right)^2\\
&= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \, \cdots \, + \left(MQ\right)^2}_{\text{n vezes}}$} \, .\end{align*}[/tex]

► Média Potencial – Denominamos Média Potencial de grau [tex]\alpha[/tex] dos números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] ao número denotado por [tex]M_{\alpha}[/tex] e assim definido:

[tex]\boxed{M_{\alpha}=\left(\dfrac{a_1^ \alpha + a_2^ \alpha + a_3^ \alpha + \dots + a_n^ \alpha}{n}\right)^ \frac{1}{\alpha}}.[/tex]

A Média Potencial generaliza três das quatro médias acima definidas, pois, em particular:
[tex]\qquad M_1=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\right)[/tex] é a Média Aritmética;
[tex]\qquad M_2=\left(\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}\right)^\frac{1}{2}[/tex] é a Média dos Quadrados;
[tex]\qquad M_{-1}=\left(\dfrac{a_1^{-1}+a_2^{-1}+a_3^{-1}+\dots+a_n^{-1}}{n}\right)^{-1}[/tex] é a Média Harmônica.

Embora as médias aritmética e a dos quadrados possam ser definidas para listas de números reais não necessariamente positivos, como estabeleceremos relações entre essas diversas médias e elas também serão aplicadas em problemas de geometria, definimos essas duas médias para números reais positivos, evitando-se a possibilidade de as médias geométrica e harmônica não existirem.

II – Desigualdades

(1) Desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica

[tex]\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Geométrica$}[/tex]

Para dois números reais: Considerando os números reais positivos [tex]a_1[/tex] e [tex]a_2[/tex], tem-se que

[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2}{2}\geqslant \sqrt{a_1a_2}}.[/tex]

Para ver a demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Caso Geral: Considerando os números reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex], tem-se que:

[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.[/tex]

Para ver a demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Para estender a desigualdade para qualquer quantidade [tex]n[/tex] de números reais positivos [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex], faremos uso de um LEMA.
Mas o que é um LEMA?
Um Lema é uma proposição preliminar cuja demonstração prévia é necessária para demonstrar uma afirmação principal que se pretende estabelecer, em outras palavras, é um resultado demonstrável que nos ajuda a provar algo.
Pois bem, vamos a ele.

LEMA: Seja [tex]m[/tex] um número natural.
Suponha que [tex] \, A \, [/tex] e [tex] \, G \, [/tex] sejam, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica da lista de números reais positivos [tex]y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m[/tex], a qual vamos supor já devidamente ordenada ([tex]y_1 \leqslant y_2 \leqslant \cdots \leqslant y_m[/tex]) para facilitar a nossa notação.
Então, ao substituirmos o menor elemento dessa lista, [tex]y_1[/tex], por [tex] \, G \, [/tex] e o maior elemento, [tex]y_m[/tex], por [tex] \, \dfrac{y_1\cdot y_m}{G} \, [/tex], resulta que:
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] a média aritmética dos números da nova lista é menor do que ou igual à média [tex] \, A \, [/tex]. E só será igual, quando todos os números [tex]y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m[/tex] forem iguais.
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] a média geométrica dos números da nova lista permanece igual à média [tex] \, G \, [/tex].
Para ver a demonstração desse resultado, clique no botão abaixo.

Demonstração:
Suponhamos que [tex]L[/tex] seja a lista de números reais positivos [tex]y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m[/tex]. Assim, as médias aritmética [tex]A[/tex] e geométrica [tex]G[/tex] dos números de [tex]L[/tex] são:
[tex] \qquad A=\dfrac{y_1+ y_2+ \cdots+ y_m}{m}\quad[/tex] e [tex] \quad G=\sqrt [m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Nomearemos como [tex]L_1[/tex] a lista resultante de substituirmos [tex]y_1[/tex] por [tex] \, G \, [/tex] e [tex]y_m[/tex] por [tex] \, \dfrac{y_1\cdot y_m}{G}:[/tex]
[tex]\qquad L_1: \boxed{G} \, , \, y_2 \, , \, y_3 \, , \, \cdots \, , \, y_{m-1},\boxed{\dfrac{y_1\cdot y_m}{G}}.[/tex]
Sejam [tex]A_1[/tex] e [tex]G_1[/tex] respectivamente as médias aritmética e geométrica dos números de [tex]L_1[/tex], assim:
[tex] \qquad A_1=\dfrac{G+ y_2+ \cdots+ \frac{y_1\cdot y_m}{G}}{m}\quad[/tex] e [tex] \quad G_1=\sqrt [m]{G \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot \frac{y_1\cdot y_m}{G}}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \, .[/tex]

Observe, inicialmente, que:

[tex] \qquad G_1=\sqrt[m]{G\cdot y_2\cdot \, \cdots \, \cdot y_{m-1}\cdot\frac{y_1\cdot y_m}{G}}\\
\qquad G_1=\sqrt[m]{\cancel{G}\cdot y_2\cdot \, \cdots \, \cdot y_{m-1}\cdot\frac{y_1\cdot y_m}{\cancel{G}}}\\
\qquad G_1=\sqrt [m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}G.[/tex]
Com isso, temos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$G_1=G$} \, .[/tex]

Façamos duas observações:

Como
[tex]\; y_1 \leqslant y_1\\
\; y_1 \leqslant y_2\\
\; y_1 \leqslant y_3\\
\; \vdots\\
\; y_1 \leqslant y_{m-1}\\
\; y_1 \leqslant y_{m}\\[/tex]
então
[tex]\quad y_1^m \leqslant y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m\\[/tex],
já que a lista é formada por números positivos.
Portanto
[tex]\quad y_1 \leqslant \sqrt[m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}=G \, .[/tex]

Como
[tex]\; y_1 \leqslant y_m\\
\; y_2 \leqslant y_m\\
\; y_3 \leqslant y_m\\
\; \vdots \\
\; y_{m-1} \leqslant y_m\\
\; y_{m} \leqslant y_m\\[/tex]
segue que
[tex]\quad y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m \leqslant y_m^m \\ [/tex],
já que a lista é formada por números positivos.
Portanto
[tex]\quad G=\sqrt[m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m} \leqslant y_m \, .[/tex]

Das duas observações, concluímos que [tex]\boxed {y_1 \leqslant G \leqslant y_{m}} \, [/tex] e, dessa dupla desigualdade, podemos concluir que [tex] y_1-G \leqslant 0[/tex] e também que [tex]1-\frac{y_m}{G}\leqslant 0[/tex], donde [tex] \left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right) \geqslant 0.[/tex]
De [tex] \left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right) \geqslant 0[/tex], seque que:
[tex] \; y_1-\frac{y_1 \cdot y_m}{G}-G+y_m \geqslant 0\\
\; y_1+y_m \geqslant G+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}\\
\; y_1+\left( y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}\right)+y_m \geqslant G+\left( y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}\right)+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}\\
\; \dfrac{y_1+ y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}+y_m}{m} \geqslant \dfrac{G+ y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}}{m}\\
[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], podemos então concluir que [tex]A \geqslant A_1[/tex], ou seja, a média aritmética dos números da nova lista é menor do que ou igual à da lista original.
Finalmente, observe que se [tex]A = A_1[/tex], então [tex]\left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right)= 0[/tex] e, portanto, [tex] y_1-G = 0[/tex] ou [tex] 1-\frac{y_m}{G}= 0[/tex]. Mas as afirmações [tex] y_1=G \, [/tex] e [tex] \, y_m=G[/tex] só ocorrem quando todos os números da lista [tex]L[/tex] forem iguais.
Com efeito, se algum elemento [tex]y_i[/tex] da lista [tex]L[/tex] for diferente de [tex]y_1[/tex] (ou de [tex]y_m[/tex]), então teremos [tex]y_1 \lt y_i[/tex] (ou [tex]y_i \lt y_m[/tex]) e, portanto, [tex]y_1^m \lt y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m[/tex] (ou [tex]y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m \lt y_m^m [/tex]), ou seja, [tex] y_1 \lt G \, [/tex] (ou [tex]G \lt y_m) \, [/tex]. Deste modo, teríamos [tex] y_1\ne G \, [/tex] (ou [tex] \, y_m\ne G[/tex]).

Vamos, então, à demonstração de que, para qualquer número natural [tex]n[/tex], se [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex] são números reais positivos, então [tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.[/tex]
Sejam [tex] \, MA \, [/tex] e [tex] \, MG \, [/tex] respectivamente a média aritmética e a média geométrica da lista de números reais positivos
[tex] \, L: a_1 \, , \, a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n[/tex].

Ao substituirmos o menor elemento da lista [tex]L[/tex], digamos [tex] x[/tex], por [tex] \, MG \, [/tex] e o maior elemento, digamos [tex]z[/tex], por [tex] \, \dfrac{x \cdot z}{MG} \, [/tex], mantendo os demais inalterados, obtemos uma lista [tex]L_1[/tex] cuja média geométrica [tex]\left(MG\right)_1[/tex] e a média aritmética [tex]\left(MA\right)_1[/tex], segundo o LEMA, são tais que:

[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MA\right)_1 \leqslant MA[/tex] e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista [tex]L[/tex] forem iguais.
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MG\right)_1 = MG[/tex].

Sejam agora [tex] x_1 \, [/tex] e [tex] \, z_1[/tex] o menor e o maior dos elementos da lista [tex]L_1[/tex], respectivamente. Substituindo [tex] x_1 \, [/tex] por [tex] \, MG \, [/tex] e [tex]z_1[/tex] por [tex] \, \dfrac{x_1 \cdot z_1}{MG} \, [/tex], obtemos uma nova lista [tex]L_2[/tex] cuja média geométrica [tex]\left(MG\right)_2[/tex] e a média aritmética [tex]\left(MA\right)_2[/tex], segundo o LEMA, são tais que:

[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MA\right)_2 \leqslant \left(MA\right)_1[/tex] e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista [tex]L_1[/tex] forem iguais.
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MG\right)_2 = \left(MG\right)_1[/tex].
Perceba também que, na lista [tex]L_2[/tex], pelo menos dois elementos são iguais a [tex]MG[/tex].

Em uma terceira etapa, vamos substituir o menor e o maior dos elementos da lista [tex]L_2[/tex], digamos [tex] x_2 \, [/tex] e [tex] \, z_2[/tex], respectivamente por [tex] \, MG \, [/tex] e por [tex] \, \dfrac{x_2 \cdot z_2}{MG} \, [/tex]. Com isso, obtemos uma terceira lista [tex]L_3[/tex] cuja média geométrica [tex]\left(MG\right)_3[/tex] e a média aritmética [tex]\left(MA\right)_3[/tex], segundo o LEMA, são tais que:

[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MA\right)_3 \leqslant \left(MA\right)_2[/tex] e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista [tex]L_2[/tex] forem iguais.
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MG\right)_3 = \left(MG\right)_2[/tex].
Perceba que a lista [tex]L_3[/tex] tem pelo menos três elementos iguais a [tex]MG[/tex].

Prosseguindo dessa forma, depois de no máximo [tex]n[/tex] etapas, obteremos uma lista [tex]L^*[/tex] com [tex]n[/tex] números iguais a [tex]MG[/tex]. Por sucessivas aplicações do LEMA temos que, se a média geométrica e a média aritmética de [tex]L^*[/tex] forem, respectivamente, [tex]\left(MG\right)^*[/tex] e [tex]\left(MA\right)^*[/tex], então:
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MA\right)^* \leqslant \cdots \leqslant \left(MA\right)_3 \leqslant \left(MA\right)_2 \leqslant \left(MA\right)_1 \leqslant MA \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MG\right)^*= \, \cdots \, =\left(MG\right)_3 =\left(MG\right)_2 = \left(MG\right)_1=MG[/tex]
Mas sabemos que na lista [tex]L^*[/tex] os [tex]n[/tex] números são iguais a [tex]MG[/tex] e isso significa que:
[tex] \qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \, [/tex] [tex]\left(MA\right)^* =\dfrac{\overbrace{MG+ MG+ \, \cdots \, +MG}^{n\text{ parcelas}}}{n}=\dfrac{n\cdot MG}{n}=MG \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] obtemos que [tex]MG =\left(MA\right)^*\leqslant MA[/tex], ou seja, [tex]MA \geqslant MG[/tex], o que nos garante que
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.[/tex]
Para finalizar, note que só teremos [tex]MG = MA[/tex] se, em cada uma das etapas a média aritmética se manteve constante. E isso só ocorreria se todas as listas tivessem seus elementos iguais; em particular, a lista inicial [tex]L[/tex]. Portanto [tex]MG = MA[/tex] só ocorre se todos os [tex]a_i[/tex]’s forem iguais.

Se você sabe o que é uma demonstração por indução,
clique no botão abaixo para ver uma segunda prova desta desigualdade.

Agora, vamos estender, mais uma vez, a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para [tex]n[/tex] números reais positivos [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex]. Para isso, também faremos uso de um LEMA.

Já sabemos que um lema é uma proposição preliminar cuja demonstração prévia é necessária para demonstrar a tese principal que se pretende estabelecer. Em outras palavras, é um resultado demonstrável que nos ajuda a provar algo. Então, vamos a ele.

LEMA: Dados [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex] números reais positivos, se [tex]a_1 \cdot a_2 \cdot \, \dots \, \cdot a_n=1[/tex], então [tex]a_1+a_2+ \cdots +a_n \geqslant n[/tex].

Prova do LEMA:
Faremos a demonstração por indução.

Base da indução: para [tex]n=1[/tex], [tex]a_1=1[/tex], então [tex]1 \geqslant 1[/tex];
Nossa hipótese de indução é para [tex]n=k[/tex]: se [tex]a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k=1[/tex], então [tex]a_1+a_2+ \cdots + a_k \geqslant k.[/tex]

Portanto, nossa tese é para [tex]n=k+1[/tex]: se [tex]a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k \cdot a_{k+1}=1[/tex], então [tex]a_1+a_2 \cdots + a_k+a_{k+1} \geqslant k+1.[/tex]

Observe que se [tex]a_1=a_2= \cdots =a_k=a_{k+1}=1[/tex], a referida desigualdade está provada. Mas, se nem todos forem iguais a [tex]1[/tex], duas observações devem ser levadas em conta:
[tex](1)[/tex] Nem todos esses números podem ser maiores que [tex]1[/tex], pois o produto de todos eles seria maior que [tex]1[/tex].
[tex](2)[/tex] Nem todos esses números podem ser menores que [tex]1[/tex], pois o produto de todos eles seria menor que [tex]1[/tex].
Desta forma,

por [tex](1)[/tex], concluímos que pelo menos um dos números em questão não é maior que [tex]1[/tex]: admitamos, sem perda de generalidade, que [tex]a_{k+1} \leqslant 1[/tex];
por [tex](2)[/tex], concluímos que pelo menos um dos números em questão não é menor que [tex]1[/tex]: admitamos, sem perda de generalidade, que [tex]a_k \geqslant 1[/tex].

Agora, perceba que, nessas condições, [tex](a_k-1)\cdot (1-a_{k+1}) \geqslant 0[/tex], já que [tex]a_k-1 \geqslant 0[/tex] e [tex]1-a_{k+1} \geqslant 0[/tex].
Logo, desenvolvendo este produto, vem:
[tex]\qquad a_k-a_k \cdot a_{k+1}-1+a_{k+1} \geqslant 0[/tex]
[tex]\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1} \geqslant 1. \qquad \textcolor{#800000}{(I)}[/tex]
Deixemos este resultado guardado para utilizarmos daqui a pouco.
Voltando à prova do lema, perceba que, se considerarmos o produto [tex]a_k \cdot a_{k+1}[/tex] como um único número, o produto [tex]a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k \cdot a_{k+1}=1[/tex], terá [tex]k[/tex] fatores e será igual a [tex]1[/tex]:
[tex]\qquad a_1 \cdot a_2 \cdot \, \cdots \, \cdot a_{k-1} \cdot (a_k \cdot a_{k+1})=1.[/tex]
Assim, por hipótese de indução,
[tex]\qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1}+(a_k \cdot a_{k+1}) \geqslant k[/tex],
e, então,
[tex]\qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1} \geqslant k-a_k \cdot a_{k+1}[/tex].
Adicionando [tex]a_k+a_{k+1}[/tex] a ambos os membros dessa última desigualdade, obtemos:
[tex]\; a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1}+a_k+a_{k+1} \geqslant k-a_k \cdot a_{k+1}+a_k+a_{k+1}. \quad \textcolor{#800000}{(II)}[/tex]
Perceba que, por [tex] \textcolor{#800000}{(I)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(II)}[/tex],
[tex]\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1} \geqslant 1[/tex]
[tex]\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1}+k \geqslant 1+k[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k+1} \geqslant k+1[/tex],
o que demonstra o LEMA.

Vamos, agora, finalizar a demonstração da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica.
Pois bem, sabemos que [tex]\boxed{(MG)^n=a_1 \cdot a_2 \, \cdot \cdots \, \cdot a_n} \, [/tex], assim:

[tex]\dfrac{a_1}{MG} \cdot \dfrac{a_2}{MG} \cdot \, \cdots \, \cdot \dfrac{a_n}{MG} = 1.[/tex]

Observe que estamos diante de um produto igual a [tex]1[/tex] e cujos fatores são [tex]n[/tex] números reais positivos. Dessa forma, pelo LEMA, podemos escrever:

[tex]\dfrac{a_1}{MG}+\dfrac{a_2}{MG}+ \cdots +\dfrac{a_n}{MG} \geqslant n[/tex]
[tex] \, \, \\
a_1+a_2+ \cdots +a_n \geqslant n \cdot MG\\
\, \, \\
[/tex]
[tex]\dfrac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \geqslant MG[/tex]
[tex] \, \, \\
\qquad MA \geqslant MG[/tex]

o que conclui a prova.

Consequências diretas da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica:
► Quando a soma de [tex]n[/tex] números positivos for uma constante, o produto destes [tex]n[/tex] números será máximo quando todos eles forem iguais;
► Quando o produto de [tex]n[/tex] números positivos for uma constante, a soma destes [tex]n[/tex] números será mínima quando todos eles forem iguais.

(02) Desigualdade entre as médias Geométrica e Harmônica

[tex] \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Geométrica \geqslant Média\ Harmônica$}[/tex]

Se [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] são números reais positivos, então

[tex]\boxed{\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \dots a_n} \geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}},[/tex]

e a igualdade só ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3= \dots=a_n[/tex].

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

(03) Desigualdade entre as médias Aritmética e Harmônica

[tex] \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Harmônica$}[/tex]

Se [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] são números reais positivos, então

[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}}.[/tex]

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

É importante observar que, de [tex]MA\geqslant MH[/tex], segue que
[tex] \, \, \\
\qquad \dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}\\
\\ \, \, \, \\
\qquad (a_1+a_2+a_3+\dots +a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots +\dfrac{1}{a_n}\right)\geqslant n^2.\\[/tex]

Que tal assistir a um vídeo com provas geométricas dessas três desigualdades?

É só clicar na setinha.

(04) Uma desigualdade entre médias Potenciais e a média Geométrica

Se [tex]a_1, a_2, a_3, \dots, a_n[/tex] são números reais positivos e [tex]\alpha \lt 0 \lt \beta[/tex], então

[tex]\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$M_\alpha \leqslant MG \leqslant M_\beta$}.[/tex]

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Consideremos, inicialmente, os números reais positivos [tex]a_1^{\alpha}, a_2^{\alpha}, a_3^{\alpha}, \dots, a_n^{\alpha}.[/tex]

Como [tex]MG \leqslant MA[/tex], temos que
[tex]\quad \sqrt[n]{a_1^\alpha \cdot a_2^\alpha \cdot a_3^\alpha \dots a_n^{\alpha^ \, }} \leqslant \dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}.\qquad \textcolor{#800000}{(vi)}\\ \, \, [/tex]
Por outro lado, como [tex]\alpha \lt 0 \lt \beta[/tex], temos que [tex]\dfrac{1}{\alpha} \lt 0[/tex]. Assim, elevando a desigualdade [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex] à potência [tex]\dfrac{1}{\alpha}[/tex], obtemos:
[tex] \, \, \\
\quad \left(\sqrt[n]{a_1^\alpha \cdot a_2^\alpha \cdot a_3^\alpha \dots a_n^{\alpha }}\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\
\, \, \\
\quad \left(\sqrt[n]{\left(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n \right)^{\alpha }}\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\
\, \, \\
\quad \left(\left(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n }\right)^{\alpha }\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\
\, \, \\
\quad \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\
\, \, \\
\quad MG \geqslant M_\alpha \, ,\\
\, \, [/tex]
de onde concluímos que [tex]M_\alpha \leqslant MG.[/tex]

Agora, perceba que para os números reais positivos [tex]a_1^{\beta }, a_2^{\beta }, a_3^{\beta }, \dots, a_n^{\beta }[/tex] também temos [tex]MG \leqslant MA[/tex]; logo

[tex]\qquad \sqrt[n]{a_1^\beta \cdot a_2^\beta \cdot a_3^\beta \dots a_n^\beta} \leqslant \dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta + a_3^\beta + \dots + a_n^\beta}{n}; \qquad \textcolor{#800000}{(vii)}\\ \, \, [/tex]
e, portanto, elevando a desigualdade [tex]\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex] à potência [tex]\dfrac{1}{\beta}[/tex], como [tex]\beta \gt 0[/tex], obtemos:
[tex] \, \, \\
\qquad \left(\sqrt[n]{a_1^\beta \cdot a_2^\beta\cdot a_3^\beta\dots a_n^{\beta}}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta+ a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\
\, \, \\
\qquad \left(\sqrt[n]{\left(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n \right)^{\beta}}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\
\, \, \\
\qquad \left(\left(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n }\right)^{\beta}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\
\, \, \\
\qquad \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta+ a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\
\, \, \\
\qquad MG \leqslant M_\beta \, ,\\
\, \, [/tex]
de onde concluímos que [tex]MG \leqslant M_\beta.[/tex]

Assim, [tex]M_\alpha \leqslant MG \leqslant M_\beta.[/tex]
Observe que essas duas desigualdades foram obtidas a partir da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica; assim, as duas igualdades só ocorrem se [tex]a_1=a_2=\cdots=a_n.[/tex]

Provamos que se [tex]\alpha \lt 0 \lt \beta[/tex], então, particularmente, [tex]M_{\alpha} \leqslant M_{\beta}.[/tex]
Mas é possível estabelecer outra desigualdade importante envolvendo médias potenciais:

Se [tex]a_1, a_2, \dots, a_n[/tex] são reais positivos e se [tex]0 \lt \alpha \leqslant \beta[/tex], então [tex]M_{\alpha} \leqslant M_{\beta}.[/tex]

Será que você poderia prová-la?

Observe que utilizando essa desigualdade podemos garantir que [tex]M_1 \leqslant M_2[/tex], ou seja, [tex]MA \leqslant MQ.[/tex]

Agora que vocês já conhecem algumas médias e importantes desigualdades envolvendo-as, que tal conhecer algumas aplicações do que foi desenvolvido nesta Sala?
É só clicar AQUI!

Equipe COM – OBMEP

Referências:
[1] BACELAR, Robério, Material desenvolvido para o PECI – OBMEP.
[2] Revista Eureka – volume 5(Último acesso em 09/11/18)
[3] ARTOLA, Victor Hugo Laurente Artola, Desigualdades – Olimpíadas Matemáticas. Perú Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2008.