Médias e Desigualdades – Aplicações

Como [tex]a, \, b, \, c[/tex] são números reais positivos, então [tex]\dfrac{a^4}{b}, \, \dfrac{b^4}{c}, \, \dfrac{c^4}{a}[/tex] também são números reais positivos. Dessa forma, podemos utilizar para eles a desigualdade [tex]MA\geqslant MG[/tex].
Assim, [tex] \, \dfrac{\dfrac{a^4}{b}+\dfrac{b^4}{c}+\dfrac{c^4}{a}}{3}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{a^4}{b}\cdot \dfrac{b^4}{c}\cdot \dfrac{c^4}{a}} \, [/tex] e, consequentemente, [tex] \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\dfrac{a^4}{b}+\dfrac{b^4}{c}+\dfrac{c^4}{a}\geqslant
3abc$} \, .[/tex]
A igualdade só é satisfeita para [tex]a=b=c.[/tex]

Observe que [tex]a^2+2b=a^2+b+b[/tex]. Logo, aplicando [tex]MA\geqslant MG[/tex] aos números [tex]a, \, b, \, b[/tex], temos:
[tex]\qquad \dfrac{a^2+b+b}{3}\geqslant \sqrt[3]{a^2\cdot b\cdot b}[/tex]
[tex]\qquad a^2+2b\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2}[/tex]
[tex]\qquad a^2+2b\geqslant 3(ab)^{2/3}.[/tex]
A igualdade só ocorre para [tex]a^2=b.[/tex]

Observe que podemos escrever a expressão de [tex]f(x)[/tex] como sendo
[tex]\qquad f(x)=x^2+\dfrac{4}{\sqrt{x}}=x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}.[/tex]
Então, aplicando a desigualdade [tex]MA \geqslant MG[/tex] às cinco parcelas que compõem essa expressão de [tex]f(x)[/tex], segue que:
[tex]\qquad \dfrac{x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{5}\geqslant \sqrt[5]{x^2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]
[tex]\qquad x^2+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\geqslant 5\cdot 1[/tex]
[tex]\qquad f(x)\geqslant 5.[/tex]
Portanto, o valor mínimo de [tex]f(x)[/tex] é [tex]5[/tex] e ocorre se, e somente se, [tex]x=1[/tex].

Observe que [tex]\boxed{xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)= x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2} \, .[/tex]
Assim, aplicando a desigualdade [tex]MA \geqslant MG[/tex] aos números [tex]x^2y, \, xy^2, \, x^2z, \, xz^2, \, y^2z, \, yz^2[/tex], temos:
[tex]\qquad \dfrac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}{6}\geqslant \sqrt[6]{(xyz)^6},[/tex]
e, assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)\geqslant 6xyz$} \, .[/tex]

Inicialmente, observe que para cada [tex]a_k[/tex] dado temos que
[tex]\qquad 1+a_k=\underbrace{\dfrac{1}{k-1}+ \dots \dfrac{1}{k-1}}_{{k-1} \, vezes}+a_k[/tex].
Assim, aplicando a desigualdade [tex]MA \geqslant MG[/tex], temos que:
[tex]\qquad \dfrac{1+a_k}{k}\geqslant \sqrt[k]{\left(\dfrac{1}{k-1}\right)^{k-1}a_k}[/tex],
donde
[tex]\qquad (1+a_k)^k\geqslant \dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}a_k.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, aplicando a desigualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] para [tex]k[/tex] de [tex]2[/tex] a [tex]n[/tex], temos:
[tex]\qquad (1+a_2)^2\geqslant \dfrac{2^2}{(2-1)}a_2[/tex]
[tex]\qquad(1+a_3)^3\geqslant \dfrac{3^3}{(3-1)^2}a_3[/tex]
[tex]\qquad(1+a_4)^4\geqslant \dfrac{4^4}{(4-1)^3}a_4[/tex]
[tex]\qquad\cdots[/tex]
[tex]\qquad(1+a_n)^n\geqslant \dfrac{n^n}{(n-1)^{n-1}}a_n[/tex].
Multiplicando todas as desigualdades, obtemos:
[tex]\qquad (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n \geqslant \dfrac{2^2}{(2-1)}a_2\dfrac{3^3}{(3-1)^2}a_3\cdots \dfrac{n^n}{(n-1)^{n-1}}a_n[/tex]
[tex]\qquad (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n \geqslant a_2a_3 \cdots a_nn^n \, .[/tex]
Como [tex]a_2a_3 \cdots a_n=1[/tex], da última desigualdade, segue que:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n \geqslant n^n$} \, .[/tex]

Aplicando sucessivamente a desigualdade [tex]MA \geqslant MG[/tex] aos números [tex]1, \, a_k[/tex], com [tex]k[/tex] variando de [tex]1[/tex] a [tex]n[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 1+a_1\geqslant 2\sqrt{a_1};[/tex]
[tex]\qquad 1+a_2\geqslant 2\sqrt{a_2};[/tex]
[tex]\qquad 1+a_3\geqslant 2\sqrt{a_3};[/tex]
[tex]\qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad 1+a_n\geqslant 2\sqrt{a_n}.[/tex]
Multiplicando todas as desigualdades, vem:
[tex](1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)\cdots (1+a_n)\geqslant 2^n \sqrt{a_1} \sqrt{a_2} \cdots \sqrt{a_n}=2^n \sqrt{a_1a_2\cdots a_n}=2^n,[/tex]
pois [tex]a_1a_2\cdots a_n=1[/tex], e assim:
[tex] \, \, \qquad \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)\cdots (1+a_n)\geqslant 2^n$} \, .[/tex]

Reescrevendo [tex]y=x^2+\dfrac{1}{x}[/tex] como [tex]y=x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}[/tex] e aplicando a desigualdade [tex]MA \geqslant MG[/tex] para [tex]x^2 \, , \, \dfrac{1}{2x} \, , \, \dfrac{1}{2x}[/tex], temos que:

[tex]\qquad\dfrac{y}{3}=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}}{3}\geqslant \sqrt[3]{x^2\cdot \dfrac{1}{2x}\cdot \dfrac{1}{2x}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.[/tex]

Assim, o menor valor para [tex]y[/tex] é [tex]y=\dfrac{3 \, \sqrt[3]{2}}{2}[/tex] e ocorre quando [tex]x^2=\dfrac{1}{2x}[/tex], ou seja, para [tex]x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}.[/tex]

Como [tex]M_1 \leqslant M_2[/tex], temos [tex]MA \leqslant MQ.[/tex] Assim:
[tex]\qquad \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant \dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{1}{3}.[/tex]
Elevando ao quadrado ambos os lados dessa desigualdade, vem que:
[tex]\qquad \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\geqslant \dfrac{1}{9}[/tex],
donde [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a^2+b^2+c^2\geqslant \dfrac{1}{3}$} \, .[/tex]

Escrevendo [tex]n[/tex] como [tex]\underbrace{1+\cdots +1}_{{n} \, uns}[/tex] e aplicando a desigualdade [tex]MA\geqslant MG[/tex], temos que:

[tex]x_1+n=x_1+\underbrace{1+\cdots +1}_{{n} \, uns}\geqslant (n+1)\cdot \sqrt[n+1]{x_1\cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}=(n+1)\cdot \sqrt[n+1]{x_1}.[/tex]
Analogamente,
[tex]\qquad x_2+n\geqslant (n+1)\cdot \sqrt[n+1]{x_2};[/tex]
[tex]\qquad x_3+n\geqslant (n+1)\cdot \sqrt[n+1]{x_3};[/tex]
[tex]\qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad x_n+n\geqslant (n+1)\cdot \sqrt[n+1]{x_n}.[/tex]
Multiplicando essas expressões, temos:
[tex]\qquad \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (x_i+n)\geqslant (n+1)^n\cdot \sqrt[n+1]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}=(n+1)^n,[/tex]
pois [tex]x_1\cdot x_2\cdots x_n=1[/tex].
Percebam que a igualdade ocorre quando [tex] x_1=x_2=\cdots =x_n=1[/tex] e, portanto, [tex] (n+1)^n[/tex]é o valor mínimo da expressão dada.