Quadrados perfeitos – um primeiro estudo

Algumas propriedades dos quadrados perfeitos

Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vamos conhecê-los um pouco mais.
 

Em um primeiro momento, tente apenas entender a propriedade, analisando a seguinte sequência:
$1+3=4=2^2\, \, \,$ (a soma dos 2 primeiros números ímpares é o segundo quadrado perfeito);
$1+3+5=9=3^2\, \, \,$ (a soma dos 3 primeiros números ímpares é o terceiro quadrado perfeito);
$1+3+5+7=16=4^2\, \, \,$ (a soma dos 4 primeiros números ímpares é o quarto quadrado perfeito);
$1+3+5+7+9=25=5^2\, \, \,$ (a soma dos 5 primeiros números ímpares é o quinto quadrado perfeito);
$1+3+5+7+9+11=36=6^2\, \, \,$ (a soma dos 6 primeiros números ímpares é o sexto quadrado perfeito);
$1+3+5+7+9+11+13=49=7^2\, \, \,$ (a soma dos 7 primeiros números ímpares é o sétimo quadrado perfeito);
$1+3+5+7+9+11+13+15=64=8^2\, \, \,$ (a soma dos 8 primeiros números ímpares é o oitavo quadrado perfeito).
Usando esta propriedade podemos concluir, por exemplo, que:
$\qquad \underbrace{1+3+5+ \cdots +999}=250\,000\qquad$ e $\qquad \underbrace{1+3+5+ \cdots +9999}=25\,000\,000$.
a soma dos 500 primeiros números ímpares $\qquad$ a soma dos 5000 primeiros números ímpares
Tente fazer essas somas na sua calculadora e observe como é forte essa propriedade!

Neste primeiro estudo tente apenas observar uma boa aplicação desta propriedade. Por exemplo:
●  $\sqrt{5787}$ é um número natural?
●  $\sqrt{14722}$ é um número natural?
●  $\sqrt{8786923}$ é um número natural?

Neste momento observe apenas que, com essa propriedade, garantimos, por exemplo, que:
●  $(273904736)^2$ é divisível por 4.
●  $(18700394875098756283764878)^2$ é divisível por 4.
Mais uma vez, use sua calculadora para obter os quadrados e depois tente fazer a divisão por quatro…
Trabalhoso, não é? Mais um exemplo legal de uma propriedade dos quadrados perfeitos!

Pegue uma calculadora e teste alguns exemplos.
Os exemplos que você conseguiu não garantem que qualquer quadrado perfeito seja um “múltiplo de 8 mais 1”, mas ajudam você entender a propriedade.
Uma bela aplicação dessa propriedade é garantirmos que em uma sequência de números naturais que tenham apenas o algarismo 1

$\qquad 11 \quad 111\quad 1111\quad 11111\quad 111111\quad 1111111\quad \cdots\quad \underbrace{ 1111\cdots1111}_{apenas\ algarismos\ 1}\quad \cdots$
não aparecem quadrados perfeitos.
A justificativa dessa afirmação não é trivial, por isso para você se convencer que essa propriedade é verdadeira, terá que pensar um pouquinho mais.

Equipe COM – OBMEP