Observe a seguinte sequência de números naturais:
| 4 | 9 | 16 | 25 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 400 | 900 | 2500. |
O que esses números têm em comum?
Escrevendo-os de um modo diferente:
[tex]\qquad 4=2^2;\ ~~ 9=3^2;\ ~~ 16=4^2;\ ~~ 25=5^2;\ ~~ 49=7^2;\ ~~ 64=8^2;\ ~~ 81=9^2;\\
\qquad 100=10^2;\ ~~ 121=11^2;\ ~~ 400=20^2; ~~ 2500=50^2;[/tex]
percebemos que tais números são quadrados de outros números.
Esses números são matematicamente conhecidos como quadrados perfeitos. Como é usual registrarmos os nomes de objetos matemáticos como definições, temos:
Definição: Quadrado perfeito é qualquer número natural que pode ser escrito como o quadrado de um número também natural.
Para quem está habituado a uma linguagem mais matemática, um número natural n é dito um quadrado perfeito, se, e somente se, existir um número natural a tal que [tex]n=a^2[/tex].
Em símbolos:
[tex]\qquad \fbox{$\displaystyle \text{ Seja } n \in \mathbb{N}.\\ ~n\ \acute{e}\ \text{quadrado perfeito} \iff \exists\ a \in \mathbb{N} \mid n=a^2. ~$}[/tex]
Uma qualidade desse tipo de número é que, dentre os números naturais, apenas os quadrados perfeitos têm raízes quadradas exatas.
Você conseguiria justificar essa informação?
Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vale a pena conhecê-los um pouco mais.
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Equipe COM – OBMEP