Produtos notáveis e Equações polinomiais
Vamos começar esta seção resolvendo a equação polinomial de quarto grau [tex]\boxed{x^4-2x^3+4x^2-8x+16=0} \, .[/tex]
Observamos, inicialmente, que todas as possíveis raízes racionais dessa equação estão no conjunto [tex]\left\{\pm1, \, \pm2, \, \pm4, \, \pm8, \, \pm16\right\}[/tex] e, por meio de verificações diretas na equação, vemos que nenhum destes números é uma raiz. Portanto, pelo Teorema das Raízes Racionais, esta equação não possui raízes racionais.
Vejamos como o produto notável
[tex]\qquad \qquad a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\dots+b^{n-1}), \, \, n \, [/tex] ímpar,
poderá nos ajudar a resolver a equação.
Identificando [tex]a=x[/tex] e [tex]b=2[/tex] encontramos que
[tex]\qquad \qquad x^5+32=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16) \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Primeiramente, vamos resolver a equação [tex]x^5+32=0[/tex] ou, equivalentemente, [tex]x^5=-32[/tex]. Para isso, vamos usar a fórmula de radiciação de De Moivre para números complexos. (Se você não conhece ou não se lembra dessa fórmula, dê uma passadinha nesta Sala.)
Note que
[tex]\qquad \qquad -32=32(\cos 180^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 180^{\circ}) \, [/tex],
assim, as cinco raízes de quinto grau de [tex]-32[/tex] são:
[tex]\,x_k=\sqrt[5]{32}\left(\cos\left(\dfrac{180^{\circ}+k\times 360^{\circ}}{5}\right)+i \, \mathrm{sen}\left(\dfrac{180^{\circ}+k\times 360^{\circ}}{5}\right) \right), \, \, k=0, 1, 2, 3, 4 \, .[/tex]
Explicitamente, as raízes da equação [tex]x^5+32=0[/tex] são dadas por:
[tex]\qquad x_0=2(\cos 36^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 36^{\circ}) \, [/tex],
[tex]\qquad x_1=2(\cos 108^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 108^{\circ}) \, [/tex],
[tex]\qquad x_2=2(\cos 180^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 180^{\circ})=-2 \, [/tex],
[tex]\qquad x_3=2(\cos 252^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 252^{\circ}) \, [/tex],
[tex]\qquad x_4=2(\cos 324^{\circ}+i \, \mathrm{sen} \, 324^{\circ}) \, .[/tex]
Portanto, pelo Teorema da Fatoração, segue que:
[tex]\qquad x^5+32=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\\
\qquad x^5+32=(x-x_0)(x-x_1)(x+2)(x-x_3)(x-x_4) \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]
Por [tex] \textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex], concluímos que:
[tex]\qquad \qquad x^4-2x^3+4x^2-8x+16=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)[/tex]
e, assim, encontramos todas as quatro raízes da nossa equação original. Neste caso específico, podemos expressar estas raízes por meio de radicais, uma vez que os ângulos envolvidos são conhecidos. Vejamos.
Utilizando as fórmulas de seno e cosseno da soma
[tex]\qquad \qquad \mathrm{sen} \, (\alpha+\beta)= \, \mathrm{sen} \, \alpha \cos \beta+\cos \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta[/tex]
[tex]\qquad \qquad \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta- \, \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta \, [/tex]
e a relação fundamental da trigonometria
[tex]\qquad \qquad \mathrm{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \, [/tex],
podemos provar que
[tex]\qquad \qquad \mathrm{sen}(2\alpha)=2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha \, [/tex],
[tex]\qquad \qquad \cos(2\alpha)=\cos^2 \alpha-sen^2 \alpha \, [/tex],
[tex]\qquad \qquad \mathrm{sen}(3\alpha)=4\mathrm{sen}\, \alpha \cos^2 \alpha-\mathrm{sen}\, \alpha \, [/tex].
Escolhendo [tex]\alpha=36^\circ [/tex] podemos escrever
[tex]\qquad \boxed{ \mathrm{sen} \, (2\alpha)}= \mathrm{sen} \, (72^\circ)=\, \mathrm{sen} \, (180^\circ-108^\circ)=\, \mathrm{sen} \, (180^\circ-3\alpha)= \, \boxed{\mathrm{sen} \, (3\alpha)}[/tex]
e, assim,
[tex]\qquad 2 \, \mathrm{sen} \, \alpha \cos \alpha=4 \, \mathrm{sen} \, \alpha \cos^2 \alpha- \, \mathrm{sen} \, \alpha [/tex]
donde
[tex]\qquad\, 4 \cos^2 \alpha-2\cos \alpha-1=0 \, [/tex],
pois [tex]\, \mathrm{sen} \, \alpha\neq 0[/tex], para [tex]\alpha=36^\circ[/tex].
Resolvendo a equação do segundo grau [tex]\boxed{ 4 \cos^2 \alpha-2\cos \alpha-1=0} \, [/tex], encontramos
[tex]\qquad \qquad \cos 36^\circ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \, \, \mathrm{e} \, \, \, \mathrm{sen} \, 36^\circ=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}[/tex]
E, desta maneira,
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_0=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} +i\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$} \, .[/tex]
As outras raízes podem ser expressas por meio de radicais usando-se as fórmulas trigonométricas para o arco soma.
Que tal fazê-lo?
[tex]\qquad \qquad (a^n+b^n)=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\dots+b^{n-1}), \, \, n \, [/tex] ímpar,
podemos resolver as equações da forma
[tex]\qquad \qquad x^n-bx^{n-1}+b^2x^{n-2}-\dots+b^n=0, \, \, n \, [/tex]par,
com [tex]b[/tex] denotando qualquer número complexo.
Em muitos casos a solução ficará em dependência de senos e cossenos, não podendo ser expressa na forma de radicais.
Com o produto notável
[tex]\qquad \qquad (a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+b^{n-1}), \, \, n \, [/tex] natural,
podemos resolver as equações da forma
[tex]\qquad \qquad x^n+bx^{n-1}+b^2x^{n-2}+\dots+b^n=0, \, \, n \, [/tex] natural,
com [tex]b[/tex] denotando qualquer número complexo.
Vejamos agora como o cubo perfeito
[tex]\qquad \qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
pode nos ajudar a resolver equações do terceiro grau.
Consideremos, por exemplo, a equação [tex]\boxed{x^3-9x-12=0} \, .[/tex]
O cubo perfeito pode ser reescrito como
[tex]\qquad \qquad (a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0 \, [/tex],
assim, se conseguirmos resolver o sistema formado pelas equações [tex]3ab=9[/tex] e [tex]a^3+b^3=12[/tex], o número [tex]a+b[/tex] será uma raiz da equação pois escolhendo-se [tex]x=a+b[/tex], com os números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] satisfazendo estas equações, segue que
[tex]\qquad 0=(a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=(a+b)^3-9(a+b)-12=x^3-9x-12.[/tex]
Vamos lá!
[tex]\qquad \begin{cases}3ab=9\\
a^3+b^3=12
\end{cases}[/tex]
na forma
[tex]\qquad \begin{cases}a^3b^3=27 \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}\\
a^3+b^3=12 \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}
\end{cases}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)} \, [/tex], obtemos
[tex]\qquad a^3(12-a^3)=27 [/tex]
[tex]\qquad -(a^3)^2+12a^3-27=0[/tex]
[tex]\qquad (a^3)^2-12a^3+27=0.\qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
A equação [tex]\textcolor{#800000}{(v)} \, [/tex] é uma equação do segundo grau em [tex]a^3[/tex] e podemos resolvê-la, encontrando os valores [tex]a^3=3[/tex] ou [tex]a^3=9[/tex].
Por substituição no sistema encontramos que as soluções são [tex]a=\sqrt[3]{3}[/tex] e [tex]b=\sqrt[3]{9}[/tex] ou [tex]a=\sqrt[3]{9}[/tex] e [tex]b=\sqrt[3]{3}[/tex].
Assim, concluímos que [tex]\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_0=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$}[/tex] é uma raiz da equação [tex]\boxed{x^3-9x-12=0} \, .[/tex]
Pelo Teorema da Fatoração segue que
[tex]\qquad \qquad x^3-9x-12=(x-\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9})(a_1x^2+b_1x+c_1) \, .[/tex]
Efetuando a multiplicação e igualando os coeficientes de potências iguais em ambos os membros, obtemos
[tex]\qquad \qquad a_1=1, \, \, b_1=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}, \, \, c_1=(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})^2-9[/tex]
e resolvendo a equação do segundo grau
[tex]\qquad \qquad x^2+(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})x+(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})^2-9=0[/tex]
encontramos as outras duas raízes da equação [tex]\boxed{x^3-9x-12=0} \, [/tex] que faltavam:
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_1=\dfrac{-\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}+\sqrt{18-9\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{9}}}{2}$} \, \, \mathrm{e} \, \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ x_2=\dfrac{-\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}-\sqrt{18-9\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{9}}}{2}$}[/tex].
Muitos radicais, hein?
Mas não tem jeito, são essas as soluções…
[tex]\qquad \qquad (a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\dots+nab^{n-1}+b^n[/tex],
assim como fizemos no caso [tex]n=3 \, [/tex], pode ser muito útil para resolver algumas equações polinomiais.
Agora apresentaremos uma outra técnica interessante para se resolver algumas equações polinomiais.
Para exemplificar a técnica, vamos resolver a equação [tex]\boxed{x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0} \, .[/tex]
Equações com este tipo de simetria em seus coeficientes são conhecidas como equações recíprocas.
Como podemos explorar a simetria da nossa equação?
- Vamos dividir toda a equação por [tex]x^2[/tex] (observe que o zero não é uma raiz da equação) e transformá-la em equações equivalentes e obter uma equação mais conveniente:
- Em seguida, vamos fazer a mudança de incógnita [tex]\boxed{y=x+\dfrac{1}{x}} \, [/tex]. Mas antes, observe que, elevando ao quadrado os dois lados dessa igualdade, obtemos:
[tex]\qquad y^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 [/tex]
[tex]\qquad y^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2 [/tex]
[tex]\qquad \boxed{x^2+\dfrac{1}{x^2}= y^2-2} \, .[/tex] - Fazendo essas substituições na equação [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+5=0 \, [/tex], chegamos à equação do segundo grau
[tex]\qquad \qquad y^2-4y+3=0[/tex]
que possui as raízes [tex]y_1=1[/tex] e [tex]y_2=3[/tex]. - Observe agora que
[tex]\qquad \qquad y=x+\dfrac{1}{x} \, \, \Longleftrightarrow \, \, x^2-yx+1=0 \, \, \Longleftrightarrow \, \, x=\dfrac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2} \, [/tex],assim, substituindo os valores encontrados para [tex]y[/tex] em [tex]x=\dfrac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}[/tex], obtemos as quatro raízes da equação original:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_0=\dfrac{1+ i\sqrt{3}}{2}$} \, \, , \, \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_1=\dfrac{1- i\sqrt{3}}{2}$} \, \, , \, \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_2=\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$} \, \, , \, \, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_3=\dfrac{3- \sqrt{5}}{2}$} \, .[/tex]
[tex]x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0 \, \, \Longleftrightarrow \, \, x^2-4x+5-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0 \, \, \Longleftrightarrow \, \,\\
\Longleftrightarrow \boxed{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+5=0} \, .[/tex]
(1) Resolva a equação [tex]x^5-3x^4+9x^3-27x^2+81x-243=0 \, .[/tex]
(2) Encontre pelo menos uma raiz da equação [tex]x^5-10x^3+20x-12=0 \, .[/tex]
(Sugestão: Explore o produto notável [tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.[/tex])
(3) Resolva a equação [tex]x^5-6x^4+7x^3+7x^2-6x+1=0[/tex].
(4) Resolva a equação [tex]x^3-6x-6=0[/tex].
Equipe COM – OBMEP