Produtos Notáveis e Equações Polinomiais
O objetivo desta Sala de Estudos é apresentar algumas técnicas avançadas para se trabalhar de forma mais criativa com algumas equações polinomiais.
Como para o entendimento do que aqui será exposto é necessário conhecer números complexos, funções trigonométricas e funções polinomiais (e essas ferramentas serão utilizadas sem muita cerimônia), o material que apresentaremos é especialmente recomendado aos alunos do terceiro ano do Ensino Médio.
Para os demais, vale o desafio de tentar entender!
Equações polinomiais
O tema "Equações polinomiais" é certamente um dos mais importantes, desafiadores e antigos de toda a Matemática. É um consenso entre historiadores da Matemática que as equações polinomiais tiveram suas origens nos estudos de diversos povos antigos, como os Gregos e Babilônios, muito antes de Cristo.
Mas o que é uma equação polinomial, afinal?
Definição: Uma equação polinomial com coeficientes reais (ou complexos) na incógnita [tex]x[/tex] é uma equação da forma
[tex]\qquad \qquad \quad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,[/tex]
com [tex]n[/tex] denotando um número natural e [tex]a_0,a_1, \dots, a_n[/tex], [tex]a_n\neq0 \, [/tex], denotando números reais (ou complexos) fixos.
- Os números [tex]a_0,a_1, \dots, a_n[/tex] são denominados os coeficientes da equação.
- O número natural [tex]n[/tex] é dito o grau da equação, por ser o maior exponente com que figura a incógnita [tex]x[/tex].
- Os valores da incógnita [tex]x[/tex] que verificam a igualdade são conhecidos como raízes da equação.
Por exemplo, [tex]x^3-6x^2+11x-6=0[/tex] é uma equação do terceiro grau com "coeficientes [tex]1, \, -6, \, 11 \, [/tex] e [tex] \, -6[/tex]" e "raízes [tex]1, \, 2[/tex] e [tex]3[/tex]".
Os Gregos e Babilônios da antiguidade foram capazes de resolver as equações do primeiro grau. Os Árabes e Hindus conseguiram encontrar a famosa "fórmula de Bhaskara" para resolver completamente as equações do segundo grau, por volta do ano [tex]1.000[/tex] depois de Cristo. Estes povos também foram capazes de resolver de forma muito engenhosa casos particulares de equações de grau superior a dois. Matemáticos do Renascimento como Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1500-1557), Gerônimo Cardano (1501-1576) e François Viète (1540-1603) resolveram as equações do terceiro grau e o italiano Ludovico Ferrari (1522-1565) resolveu as equações do quarto grau.
As formas encontradas para resolver as equações polinomiais de grau igual ou inferior a quatro tinham algo em comum: estas fórmulas forneciam as raízes de uma equação partindo dos coeficientes e empregando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e extração de raízes um número finito de vezes. Este método de solução é hoje conhecido como solução por radicais.
Por muito tempo, os matemáticos procuraram em vão uma solução por radicais que resolvesse todas as equações de quinto grau. No início do século XIX, o norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) e o francês Évarist Galois (1811-1832) provaram que as equações de grau superior a quatro não podem ser resolvidas de forma geral pelo método dos radicais.
Então, a questão está encerrada?
Não podemos resolver equações de grau superior a quatro pelo método dos radicais?
De um modo geral, não podemos; mas veremos que, em muitos casos particulares, equações de grau alto podem ser resolvidas, com um pouco de engenhosidade.
A história das equações algébricas é repleta de controvérsias e de personagens absolutamente geniais. No vídeo abaixo você terá a oportunidade de conhecer um pouco mais da vida de um dos maiores gênios matemáticos de todos os tempos: Évarist Galois.
Para assistir, é só clicar na setinha!
Évarist Galois – uma novela matemática
Trinômio quadrado perfeito e Equações do segundo grau
Toda equação de primeiro grau [tex]\boxed{a_1x+a_0=0} \, [/tex], com [tex]a_1\neq 0[/tex], admite a única raiz [tex]\boxed{x=-\dfrac{a_0}{a_1}}[/tex] e obter essa raiz é simples, pois:
[tex]\quad \qquad \quad a_1x+a_0=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{a_0}{a_1}.[/tex]
Vejamos agora como o trinômio quadrado perfeito
[tex]\qquad \qquad (x+a)^2=x^2+2ax+a^2[/tex]
desempenha um papel fundamental na resolução de uma equação do segundo grau.
Sabemos que toda equação do segundo grau [tex]\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0} \, [/tex], com [tex]a_2\neq 0[/tex], admite duas raízes complexas dadas por:
[tex]\qquad \boxed{x_1=\dfrac{-a_1 + \sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{x_2=\dfrac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}} \, .[/tex]
Às vezes nos acostumamos tanto com a utilização da fórmula [tex] \, x=\dfrac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \, [/tex] que não questionamos como ela foi obtida. E é na obtenção dessa fórmula que o trinômio quadrado perfeito [tex](x+a)^2=x^2+2ax+a^2[/tex] entra em ação. Vejamos.
Dada a equação polinomial do segundo grau [tex]a_2x^2+a_1x+a_0=0[/tex], com [tex]a_2\neq 0[/tex], para resolvê-la devemos encontrar um caminho que isole a incógnita [tex]x[/tex]; mas isto não é um procedimento tão simples, uma vez que temos na equação mais de um termo envolvendo a incógnita ([tex]a_2x^2[/tex] e [tex]a_1x[/tex]). É bastante instrutivo observar como esse obstáculo é contornado e as raízes são obtidas.
A partir da equação [tex]\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}, \, \, a_2\neq 0 \, [/tex], vamos multiplicar todos os termos por [tex]4a_2[/tex] e, em seguida, adicionar a expressão [tex]a_1^2[/tex] a ambos os membros, obtendo então uma equação do segundo grau equivalente à equação inicial:
[tex]\quad\begin{align*}\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0} & \Longleftrightarrow 4a_2 \cdot \left(a_2x^2+a_1x+a_0\right) = 4a_2 \cdot 0\\
& \Longleftrightarrow 4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0= 0 \\
& \Longleftrightarrow \left(4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0 \right)+a_1^2= 0+a_1^2\\
& \Longleftrightarrow \boxed{4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0 +a_1^2= a_1^2} \, .
\end{align*}[/tex]
Observe agora o trinômio quadrado perfeito em ação, lembrando que [tex]a_2\neq 0[/tex]:
[tex]\;\begin{align*}\boxed{4a^2_2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0+a^2_1=a^2_1} & \Longleftrightarrow \left(4a^2_2x^2+4a_2a_1x+a^2_1\right)+4a_2a_0=a^2_1\\
& \Longleftrightarrow \left(2a_2x+a_1\right)^2+4a_2a_0=a^2_1\\
& \Longleftrightarrow \left(2a_2x+a_1\right)^2=a^2_1-4a_2a_0\\
& \Longleftrightarrow 2a_2x+a_1=\pm\sqrt{a^2_2-4a_2a_0} \\
& \Longleftrightarrow 2a_2x=-a_1\pm\sqrt{a^2_2-4a_2a_0} \\
& \Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}} \, .
\end{align*}[/tex]
Dessa forma,
[tex] \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$a_2x^2+a_1x+a_0=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}
$} \, [/tex],
e perceba que foi o trinômio quadrado perfeito que permitiu isolarmos a incógnita [tex]x[/tex].
O número [tex]\Delta=a_1^2-4a_2a_0[/tex] é conhecido como discriminante da equação [tex]a_2x^2+a_1x+a_0=0[/tex]. Lembre-se de que, se os coeficientes [tex]a_2, a_1, a_0[/tex] são reais, então:
- a equação terá duas raízes reais distintas, se [tex]\Delta \gt 0 \, [/tex];
- a equação terá duas raízes reais iguais, se [tex]\Delta = 0 \, [/tex];
- a equação terá duas raízes complexas, se [tex]\Delta \lt 0 \, [/tex].
Teorema da Fatoração e da Raízes Racionais
[tex]\textcolor{#4178a1}{(i)}[/tex] Seja [tex]P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0, \, \, a_2\neq 0,[/tex] um polinômio do segundo grau.
Sabemos que as raízes de [tex]P(x)[/tex] são os números [tex]a[/tex] tais que [tex]P(a)=0[/tex]; assim, pelo anteriormente exposto, as raízes do polinômio [tex] P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0, \, \, a_2\neq 0,[/tex] são
[tex]\qquad \qquad x_1=\dfrac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \qquad [/tex] e [tex]\qquad x_2=\dfrac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \, .[/tex]
Por outro lado, observe que:
[tex]\;\begin{align*} \boxed{a_2(x-x_1)(x-x_2)}&=a_2\left(x-\dfrac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\right)\left(x-\dfrac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\right)\\
&= a_2\left(x+\dfrac{a_1}{2a_2}-\dfrac{\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\right)\left(x+\dfrac{a_1}{2a_2}+\dfrac{\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\right)\\
&=a_2\left(x^2+\dfrac{a_1}{a_2}x+\dfrac{a_1^2}{4a_2^2}-\dfrac{a_1^2-4a_2a_0}{4a_2^2}\right)\\
&=a_2\left(x^2+\dfrac{a_1}{a_2}x+\dfrac{a_0}{a_2}\right)\\
&=\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0} \, .
\end{align*}[/tex]
Portanto, todo polinômio do segundo grau [tex]\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0}[/tex] pode ser fatorado a partir de suas raízes [tex]x_1 \, [/tex] e [tex] \, x_2[/tex] na forma [tex]\boxed{a_2(x-x_1)(x-x_2)} \, .[/tex]
Particularmente, se [tex]\Delta=0[/tex] então [tex]x_1=x_2[/tex] e o polinômio pode ser fatorado na forma [tex]a_2(x-x_1)^2[/tex]. Neste caso, dizemos que a raiz [tex]x_1[/tex] tem multiplicidade [tex]2[/tex].
Esse resultado relacionado à fatoração de um polinômio de segundo grau pode ser generalizado para qualquer polinômio de grau [tex]n[/tex] e é conhecido como Teorema da Fatoração ou, algumas vezes, como Teorema Fundamental da Álgebra.
[tex]\qquad \qquad P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, \, \, \, a_n\neq0,[/tex]
com coeficientes [tex]a_0,a_1, \dots, a_n[/tex] complexos, pode ser fatorado na forma
[tex]\qquad \qquad P(x)=a_n(x-x_0)^{m_0}(x-x_1)^{m_1}\dots(x-x_r)^{m_r} \, [/tex],
em que [tex]x_0, \, x_1, \, \dots \, , \, x_r[/tex] são números complexos distintos e [tex]m_0, \, m_1, \, \dots \, , \, m_r[/tex] são números naturais tais que [tex]m_0+m_1+\dots+m_r=n.[/tex] Cada natural [tex]m_i[/tex] é denominado “multiplicidade” da respectiva raiz [tex]x_i \, .[/tex]
A partir da forma fatorada acima, fica evidente que o conjunto das raízes da equação polinomial [tex]P(x)= 0[/tex], correspondente ao polinômio [tex]P(x)[/tex], é dado por [tex]\{x_0, x_1, \dots, x_r\}[/tex].
[tex]\textcolor{#4178a1}{(ii)}[/tex] Um dos métodos mais eficientes para se encontrar as raízes racionais de uma equação polinomial com coeficientes inteiros é o Teorema das Raízes Racionais.
[tex]\qquad \qquad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0, \, \, \, a_n\neq0 \, [/tex],
então o número inteiro [tex]a[/tex] deve ser um divisor de [tex]a_0[/tex] e o número inteiro [tex]b[/tex] deve ser um divisor de [tex]a_n[/tex].
Vamos resolver um problema que utiliza esse dois Teoremas.
- Encontre todas as raízes da equação polinomial [tex]6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=0.\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Pelo Teorema das Raízes Racionais, é fácil concluir que todas as possíveis raízes racionais da equação [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] pertencem ao conjunto [tex]\left\{\pm 1, \, \pm\dfrac{1}{2}, \, \pm\dfrac{1}{3}, \, \pm\dfrac{1}{6}, \, \pm2, \, \pm\dfrac{2}{3}\right\}[/tex].
Substituindo um a um esses valores, podemos verificar que as únicas raízes racionais da equação [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] são [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] e [tex]\dfrac{1}{3}[/tex].
Portanto, pelo Teorema da Fatoração, temos que:
[tex]\quad \begin{align*} &\boxed{6x^4-5x^3-11x^2+10x-2}=\\
& =6(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{3})(x-x_3)(x-x_4)\\
&=6(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{3})(\underbrace{1}_{a_2}x^2\underbrace{-(x_3+x_4)}_{a_1}x+\underbrace{x_3\cdot x_4}_{a_0})\\
&=6\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(a_2x^2+a_1x+a_0\right)\\
& =(6x^2-5x+1)(a_2x^2+a_1x+a_0)\\
& =\boxed{6a_2x^4+(6a_1-5a_2)x^3+(6a_0-5a_1+a_2)x^2+(-5a_0+a_1)x+a_0} \, .
\end{align*}[/tex]
Igualando os coeficientes de potências iguais de [tex]x[/tex] no primeiro e último membro das igualdades acima, segue que
[tex]\quad \boxed{6a_2=6} \;\boxed{6a_1-5a_2=-5} \;\boxed{6a_0-5a_1+a_2=-11} \;\boxed{-5a_0+a_1=10} \;\boxed{a_0=-2} \, ,[/tex]
donde podemos concluir que [tex]a_2=1, \, a_1=0, \, a_0=-2[/tex] e, assim,
[tex]\qquad \qquad 6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=6\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x^2-2\right) \, .[/tex]
Agora, observe que
[tex]\qquad \qquad x^2-2=0 \Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{2}[/tex],
portanto,
[tex]\qquad \qquad x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})[/tex]
e, então,
[tex]\quad 6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=6\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right).[/tex]
Finalmente, temos as soluções da equação [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]: [tex]\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_1=\dfrac{1}{2}, \, \, x_2=\dfrac{1}{3}, \, \, x_3=\sqrt{2}, \, \, x_4=-\sqrt{2}$} \, .[/tex]
(a) [tex]x^3-7x^2+7x+15=0[/tex]
(b) [tex]x^4+x^3-7x^2-x+6=0[/tex]
(c) [tex]x^4+6x^3+10x^2+6x+9=0[/tex]
(d) [tex]2x^5-x^4-2x+1=0[/tex]
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Com o que foi exposto até agora, já temos condições de atacar o tema desta Sala: Produtos notáveis e Equações polinomiais. |
Bons Estudos!
Equipe COM – OBMEP
Julho de 2018.