.Problema: Reposição de aulas

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(UERJ 2010) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente

$4$ dos

$9$ sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro, com a condição de que não fossem utilizados

$4$ sábados consecutivos.
Quantas são as possibilidades distintas de se atender às condições dessa reposição?

Solução 1

Devemos escolher

$4$ dentre os

$9$ sábados disponíveis com a condição de que não sejam consecutivos. E isso pode ser feito de

$C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!5!}=126$ formas.
Mas, destes casos, é necessário retirar aqueles nos quais há

$4$ sábados consecutivos, ou seja,

$SSSSNNNNN\;,\; NSSSSNNNN\;,\; NNSSSSNNN\\ \,\\ NNNSSSSNN\;,\; NNNNSSSSN\;,\; NNNNNSSSS$ ,

onde $S$ significa “sim” – usou o sábado, e $N$ significa “não” – não usou o sábado.
Com isso, restam $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126-6=120$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Se você ainda não estudou combinações, não entendeu o que significa

$C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!5!}=126$ .
Fica mais trabalhoso, mas podemos utilizar somente o Princípio Fundamental da Contagem (Veja AQUI.) para resolver este problema.
Inicialmente poderíamos pensar que o cálculo das possibilidades de escolha dos sábados poderia ser feito da seguinte maneira:

$9$ possibilidades de escolha para o primeiro sábado,
$8$ para o segundo,
$7$ para o terceiro e
$6$ para o quarto sábado.

Assim, pelo PFC, há, então, $9\times 8\times 7\times 6$ possibilidades de escolha para os quatro sábados.
Bem, supondo que o primeiro sábado escolhido seja pintado no calendário de vermelho, o segundo de verde, o terceiro de azul e o quarto de rosa, esta seria uma possibilidade de escolha:
$\qquad\qquad \color{red}{S}\color{black}{N}\color{blue}{S}\color{black}{N}\color{green}{S}\color{black}{N}\color{pink}{S}\color{black}{NN}$
e esta outra:
$\qquad \qquad \color{red}{S}\color{black}{N}\color{green}{S}\color{black}{N}\color{pink}{S}\color{black}{N}\color{blue}{S}\color{black}{NN}$
Certo…? Errado!
Na verdade, estas duas escolhas são as mesmas (confira!) e isto indica que contamos casos demais.
– De fato, contamos cada escolha $4\times 3\times 2\times1$ vezes, pois esta é a quantidade de permutações das quatro cores. E permutar as cores não muda a escolha, certo?
Logo, podemos escolher $4$ dentre $9$ sábados de $\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times1}=126$ maneiras distintas.
Mas lembre-se de que é necessário retirar dessa relação aquelas escolhas nas quais há $4$ sábados consecutivos: