.Problema: Repensando o Teorema de Pitágoras

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


O Teorema de Pitágoras garante que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Uma demonstração desse teorema é feita construindo-se quadrados sobre cada um dos lados do triângulo para mostrarmos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
A figura abaixo ilustra essa construção para um triângulo retângulo de hipotenusa com comprimento a e catetos com comprimentos b e c. Para essa situação o Teorema de Pitágoras garante que a2 = b2 + c2, ou seja, a área do maior quadrado é a soma das áreas dos quadrados menores.

E se, ao invés de utilizarmos quadrados, fossem usados triângulos equiláteros sobre cada lado; poderíamos concluir que a área do maior triângulo é a soma das áreas dos dois triângulos menores?
Justifique sua resposta.

Solução


Antes de mais nada, vamos determinar a área de um triângulo equilátero em função da medida de seu lado, digamos [tex]x[/tex].
Ao traçar a altura relativa [tex]h[/tex] a um dos lados do triângulo equilátero, obtemos dois triângulos retângulos. triangulo Por meio do teorema de Pitágoras, descobrimos que a altura desse triângulo equilátero com lados iguais a “[tex]x[/tex]”:
[tex]\qquad h^2 = x^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 \\
\qquad h^2 = \dfrac{4 x^2-x^2}{4} \\
\qquad h = \dfrac{\sqrt{3x^2}}{2} \\
\qquad h=\dfrac{\sqrt{3}\;x}{2}.[/tex]
Assim, temos que a área de um triângulo equilátero de lado [tex]x[/tex] deve ser:
[tex]\qquad A=\dfrac{base \times altura}{2} = \dfrac{x \times \dfrac{\sqrt{3}\;x}{2} }{2}=\dfrac{x^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{x^2 \sqrt{3}}{4}.[/tex]

Segundo o Teorema de Pitágoras: “A área do quadrado inscrito sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados inscritos sobre os catetos do mesmo triângulo.”
Consideremos, então, um triângulo retângulo de hipotenusa com comprimento [tex]a\, [/tex] e catetos com comprimentos [tex]\, b\, [/tex] e [tex]\, c\, [/tex].
t1 Vamos construir triângulos equiláteros sobre os lados desse triângulo.
t3
Observamos, inicialmente, que [tex]a^2 = b^2 + c^2[/tex]; assim, segue que
[tex]\quad a^2 = b^2 + c^2 \\
\quad a^2 \sqrt{3} = (b^2 + c^2)\sqrt{3} \\
\quad a^2 \sqrt{3} = b^2 \sqrt{3} + c^2 \sqrt{3} \\
\quad \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}\,. [/tex]
Por outro lado, como os triângulos equiláteros foram construídos sobre os lados do triângulo retângulo inicial, temos que os lados destes triângulos medem [tex]\, a\, [/tex], [tex]\, b\, [/tex] e [tex]\, c\, [/tex]; assim, utilizando a fórmula da área do triângulo equilátero aos três triângulos retângulos construídos, temos que suas áreas são:
[tex] \qquad \textcolor{#7D7DFF}{\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}}\quad ;\quad \textcolor{#339900}{\dfrac{b^2 \sqrt{3}}{4}}\quad ;\quad \textcolor{#FF9933}{\dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}} [/tex].
Assim, da igualdade
[tex] \qquad \textcolor{#7D7DFF}{\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \textcolor{#339900}{\dfrac{b^2 \sqrt{3}}{4}} + \textcolor{#FF9933}{\dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}} [/tex],
podemos concluir que:
a área do triângulo equilátero com base sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos triângulos com bases sobre os catetos desse triângulo.


Solução elaborada pelo Clube Decifre,
com contribuições dos Moderadores do Blog.

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