Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Ana Paula tinha 2 lápis em mãos, cujos comprimentos eram de 5,8 cm e 11,4 cm, respectivamente.
Com esses 2 lápis e um terceiro, entre os que tinha em seu estojo, ela começou a formar triângulos que tivessem os seus lápis como lados.
Logo ela percebeu que com alguns dos lápis do estojo não era possível formar um triângulo. Determine para que comprimentos do terceiro lápis Ana Paula conseguirá formar um triângulo.
Solução 1
Com base nas propriedades de existência de um triângulo qualquer, temos que:
- A soma do comprimento de dois lados quaisquer de um triângulo é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.
Uma ilustração dessa propriedade:
Em um triângulo formado por lados de comprimentos 10 cm ; 7 cm e 5 cm, temos que
⇨ 10 + 7 = 17 > 5
⇨ 10 + 5 = 15 > 7
⇨ 7 + 5 = 12 > 10
- A diferença do comprimento de dois lados quaisquer é sempre menor que o comprimento do terceiro lado.
Uma ilustração dessa segunda propriedade:
Em um triângulo de lados com comprimentos 10 cm ; 7 cm e 5 cm, temos que
⇨ 10 – 7 = 3 < 5
⇨ 10 – 5 = 5 < 7
⇨ 7 – 5 = 2 < 10
De acordo com a questão, Ana Paula tem o valor do comprimento de dois de seus lápis: 5,8 cm e 11,4 cm.
Portanto, o terceiro lápis deve ter valores
maiores que 11,4 – 5,8 = 5,6 cm e menores que 11,4 + 5,8 = 17,2 cm.
Assim, os possíveis valores para o comprimento do terceiro lápis estão entre 5,6 cm e 17,2 cm.
Solução elaborada pelo COM AS PRIMAS E EU, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Pela Desigualdade Triangular, sabemos que:
em um triângulo qualquer, a soma dos comprimentos de dois lados é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.
Assim, se [tex] a,\, b,\, c\, [/tex] forem os comprimentos dos lápis, temos que:
(I) [tex]a+c\gt b \\
5,8+c\gt 11,4 \\
c\gt 11,4-5,8\\
\boxed{c\gt 5,6};[/tex]
(II) [tex]a+b\gt c \\
5,8+11,4\gt c \\
17,2 \gt c\\
\boxed{c\lt 17,2};[/tex]
(III) [tex]b+c\gt a \\
11,4+c\gt 5,8 \\
c\gt 5,8-11,4\\
c\gt-5,6\,.[/tex]
[tex]\qquad[/tex] Como [tex]c[/tex] é uma medida, temos que [tex]\boxed{c\gt 0}[/tex].
Como as três condições devem ser satisfeitas simultaneamente, concluímos que [tex] 5,6\,cm \lt c \lt 17,2\,cm.[/tex]
Assim, a Ana Paula conseguirá formar triângulos se utilizar um terceiro lápis cujo comprimento esteja entre [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 5,6\,cm ~e~17,2\,cm$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um aplicativo para ilustrar
Aguarde o aplicativo carregar completamente e você visualizará um triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] medem, respectivamente, [tex]5,8[/tex] e [tex]11,4[/tex]. O ponto [tex]A[/tex] está fixo, mas os pontos [tex]B\,[/tex] e [tex]\,C[/tex] podem ser movimentados de modo que as medidas de [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] se mantenham.
Movimente [tex]B\,[/tex] e [tex]\,C[/tex] e observe a variação da medida do segmento [tex]\overline{BC}[/tex]. Perceba que, quando os pontos [tex]A[/tex], [tex]B\,[/tex] e [tex]\,C[/tex] definirem um triângulo, a medida de [tex]\overline{BC}[/tex] será sempre maior do que [tex]5,6\, [/tex] e menor do que [tex]17,2\,.[/tex]
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observações:
1) Para movimentar o ponto [tex]B[/tex] (ou [tex]C[/tex]), basta clicar sobre ele com o mouse e, mantendo o mouse pressionado, movimentá-lo. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
2) Para voltar às posições inicialmente definidas, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do applet.
3) O GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.
4) O GeoGebra utiliza ponto e não vírgula como separador decimal.