.Problemão: Superposição dos ponteiros do relógio

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Os ponteiros de um relógio se superpõem várias vezes ao dia.
Qual o intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas?

Solução 1

Ao meio-dia em ponto, os ponteiros estão sobrepostos. Após mais de $65$ minutos e menos de $70$ minutos eles estarão sobrepostos novamente.
Sejam $t$ o tempo medido em minutos, contado a partir de uma hora em ponto, $v$ a velocidade angular do ponteiro das horas e $V$ a dos minutos. Definimos também $\theta_1\,$ e $\,\theta_2$ como sendo o ângulo formado pelo ponteiro das horas e o ângulo formado pelo ponteiro dos minutos, respectivamente, após $t$ minutos. Assim, $v=\dfrac{\pi}{360}$ rad/min e $V=\dfrac{2\pi}{60}$ rad/min. Podemos escrever:

$\qquad \theta_1=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{360}t \qquad \qquad \qquad (1)$

$\qquad \theta_2=\dfrac{2\pi}{60}t\,. \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Como queremos que os dois ângulos $\theta_1$ e $\theta_2$ sejam iguais, temos que:

$\qquad \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{360}t=\dfrac{2\pi}{60}t \\ \qquad t=\dfrac{60}{11}\\ \qquad t\approx 5~ minutos~ e ~ 27~segundos.$

Portanto, as superposições consecutivas se darão, aproximadamente, a cada $1$ hora, $5$ minutos, $27$ segundos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

À meia noite em ponto, os ponteiros estão sobrepostos, assim a próxima sobreposição será entre 1h e 2h.
Veja, então, as posições dos ponteiros dos relógios exatamente à 1h e no momento da sobreposição entre 1h e 2h.

Observe que, de 1h até o momento da sobreposição, se ponteiro das horas girou $x$ graus, então o ponteiro dos minutos girou, em graus, $30 + x$.

Por outro lado, sabemos que enquanto o ponteiro das horas gira $30^{\circ}$, o dos minutos gira $360^{\circ}$;

assim, temos a seguinte regra de três, em graus:

             Horas         Minutos
              $30$                $360$
               $x$              $30+x$

Dessa forma,
$\qquad 30(30+x) =360x \\ \qquad 30+x =12x\\ \qquad 30=11x\\ \qquad x=\dfrac{30}{11}.\\$
Para determinarmos depois de quantos minutos, após a 1h, ocorreu a transposição, basta considerarmos a seguinte regra de três, na qual os ângulos estão expressos em graus e o tempo em minutos:

             Tempo          Ângulo do ponteiro das horas
               $60$                  $\qquad 30$
                $t$                   $\qquad \dfrac{30}{11}$
Com isso,
$\qquad 60\cdot \dfrac{30}{11} =30t \\ \qquad \\ \qquad \dfrac{60}{11} =t\\ \qquad t=\dfrac{55}{11}+\dfrac{5}{11} \\ \qquad t=\left(5+\dfrac{5}{11} \right)\, minutos\,.$
Agora, observe que
$\qquad \dfrac{5}{11}\, minutos=\dfrac{5}{11}\times 60 \, segundos=\dfrac{300}{11}\, segundos\approx 27,27\, segundos$;
logo,
$\qquad t\approx 5\, minutos\, e\, \, 27\, segundos. \, \\$
Portanto, as superposições consecutivas se darão, aproximadamente, a cada $1$ hora, $5$ minutos e $27$ segundos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.