.Problemão: Somando elementos de um conjunto

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Seja

$S$ o conjunto dos números de quatro dígitos formados pelos algarismos

$0, 1, 2$ e

$3$ .
Qual a soma de todos os elementos de $S$ ?

Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para quatro eventos:

explicador_p Se

um evento E1 puder ocorrer de $m_1$ maneiras,
um evento E2 puder ocorrer de $m_2$ maneiras,
um evento E3 puder ocorrer de $m_3 \,$ maneiras,
um evento E4 puder ocorrer de $m_4 \,$ maneiras,

e todos esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os quatro eventos ocorrem ao mesmo tempo é
$\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3 \times m_4} \,.$
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Solução

Dado um elemento qualquer de

$S$ , o primeiro dígito pode ser qualquer um dos três algarismos

$1, 2$ e

$3$ , e cada um dos três dígitos restantes pode ser qualquer um dos quatro algarismos

$0, 1, 2$ e

$3$ . Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de elementos de

$S$ é

$3\times 4\times 4\times 4 =192$ elementos.
Agora, observe que o total de números em que o

$0$ aparece na unidade é igual ao total de números em que o

$1$ aparece, bem como o

$2$ e o

$3$ . O mesmo acontecendo com a quantidade de vezes que cada um aparece na casa das dezenas e na casa das centenas. Ou seja, cada um dos algarismos

$0, 1, 2$ e

$3$ aparece na casa das unidades em

$\dfrac{192}{4}= 48$ números. Analogamente, cada um dos algarismos

$0, 1, 2$ e

$3$ aparece na casa das dezenas em

$48$ números e na casa das centenas também em

$48$ números.
Mas, o total de números em que o

$1$ , o

$2$ e o

$3$ aparece na unidade de milhar é de

$\dfrac{192}{3}= 64$ números, pois nenhum dos números pode começar com

$0$ .
Dessa forma, se dispormos todos os

$192$ números numa lista para somá-los, perceba que:

a soma dos algarismos nas casas das unidades de todos eles será $\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{red}{288}}$ ,
a soma dos algarismos nas casas das dezenas de todos eles será $\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{blue}{288}}$ ,
a soma dos algarismos nas casas das centenas de todos eles será $\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{#FF00FF}{288}}$ ,
mas a soma dos algarismos nas casas das unidades de milhar será $\;\boxed{(1+2+3)\times 64=\textcolor{#54AA36}{384}}$ .

Portanto, a soma de todos os elementos de $S$ é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$384\times 1000+ 288\times 100+288\times 10+288 = 415\;968$}\,.$
Observe o esquema abaixo que mostra o algoritmo da adição efetuada.
$\,\\ \qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c c} &&\textcolor{#FF00FF}{31} &\textcolor{blue}{31} & \textcolor{red}{28} & \\ &&1 & 0 & 0 & 0\\ &&1 & 0 & 0 & 1\\ &&1 & 0 & 0 & 2&+\\ && \vdots&\vdots &\vdots & \vdots&\\ &&3 & 3 & 3 & 3\\ \hline \textcolor{#68BE4A}{4}&\textcolor{#68BE4A}{1}&\textcolor{#54AA36}{5} & \textcolor{#FF00FF}{9} & \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{8}\\ \end{array}$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.