Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Seja [tex]S[/tex] o conjunto dos números de quatro dígitos formados pelos algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex].
Qual a soma de todos os elementos de [tex]S[/tex]?
Ajuda
Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para quatro eventos:
Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
- um evento E4 puder ocorrer de [tex]m_4 \, [/tex] maneiras,
e todos esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os quatro eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3 \times m_4} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Dado um elemento qualquer de [tex]S[/tex], o primeiro dígito pode ser qualquer um dos três algarismos [tex]1, 2[/tex] e [tex]3[/tex], e cada um dos três dígitos restantes pode ser qualquer um dos quatro algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex]. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de elementos de [tex]S[/tex] é [tex]3\times 4\times 4\times 4 =192[/tex] elementos.
Agora, observe que o total de números em que o [tex]0[/tex] aparece na unidade é igual ao total de números em que o [tex]1[/tex] aparece, bem como o [tex]2[/tex] e o [tex]3[/tex]. O mesmo acontecendo com a quantidade de vezes que cada um aparece na casa das dezenas e na casa das centenas. Ou seja, cada um dos algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex] aparece na casa das unidades em [tex]\dfrac{192}{4}= 48[/tex] números. Analogamente, cada um dos algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex] aparece na casa das dezenas em [tex]48[/tex] números e na casa das centenas também em [tex]48[/tex] números.
Mas, o total de números em que o [tex]1[/tex], o [tex]2[/tex] e o [tex]3[/tex] aparece na unidade de milhar é de [tex]\dfrac{192}{3}= 64[/tex] números, pois nenhum dos números pode começar com [tex]0[/tex].
Dessa forma, se dispormos todos os [tex]192[/tex] números numa lista para somá-los, perceba que:
- a soma dos algarismos nas casas das unidades de todos eles será [tex]\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{red}{288}}[/tex],
- a soma dos algarismos nas casas das dezenas de todos eles será [tex]\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{blue}{288}}[/tex],
- a soma dos algarismos nas casas das centenas de todos eles será [tex]\;\boxed{(0+1+2+3)\times48=\textcolor{#FF00FF}{288}}[/tex],
- mas a soma dos algarismos nas casas das unidades de milhar será [tex]\;\boxed{(1+2+3)\times 64=\textcolor{#54AA36}{384}}[/tex].
Portanto, a soma de todos os elementos de [tex]S[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$384\times 1000+ 288\times 100+288\times 10+288 = 415\;968$}\,.[/tex]
Observe o esquema abaixo que mostra o algoritmo da adição efetuada.
[tex]\,\\
\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c c}
&&\textcolor{#FF00FF}{31} &\textcolor{blue}{31} & \textcolor{red}{28} & \\
&&1 & 0 & 0 & 0\\
&&1 & 0 & 0 & 1\\
&&1 & 0 & 0 & 2&+\\
&& \vdots&\vdots &\vdots & \vdots&\\
&&3 & 3 & 3 & 3\\
\hline
\textcolor{#68BE4A}{4}&\textcolor{#68BE4A}{1}&\textcolor{#54AA36}{5} & \textcolor{#FF00FF}{9} & \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{8}\\
\end{array}[/tex]
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