Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Deseja-se transmitir sinais luminosos por meio de um painel que possui seis lâmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que:
a) em cada vértice haja duas lâmpadas de cores diferentes;
b) em cada vértice não haja mais do que uma lâmpada acesa;
c) o número mínimo de vértices iluminados seja três.
Determine o número total de sinais que podem ser transmitidos.
AJUDA
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para [tex]k [/tex] eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- [tex]\cdots[/tex]
- um evento Ek puder ocorrer de [tex]m_k [/tex] maneiras
e todos esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é:
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
✏ Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_n^r\,[/tex] e assim definida:
[tex]C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{ , com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n[/tex].
Solução
Consideremos os seguintes casos que podem ocorrer:
1) Sinal com três vértices iluminados
Para a definição desse sinal, é necessário escolher:
[tex]\quad (i)[/tex] Três vértices, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,3}[/tex] modos;
[tex]\quad (ii)[/tex] A cor de cada vértice: [tex]2^3[/tex] modos.
Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de sinais com três vértices iluminados é [tex]\boxed{C_{6,3} \cdot 2^3=160}\,.[/tex]
2) Sinal com quatro vértices iluminados
Para a definição desse sinal, é necessário escolher:
[tex]\quad (i)[/tex] Quatro vértices para serem iluminados, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,4}[/tex] modos;
[tex]\quad (ii)[/tex] A cor de cada vértice: [tex]2^4[/tex] modos.
Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de sinais com quatro vértices iluminados é [tex]\boxed{C_{6,4} \cdot 2^4=240}\,.[/tex]
3) Sinal com cinco vértices iluminados
Para a definição desse sinal, é necessário escolher:
[tex]\quad (i)[/tex] Cinco vértices para serem iluminados, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,5}[/tex] modos;
[tex]\quad (ii)[/tex] A cor de cada vértice: [tex]2^5[/tex] modos.
Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de sinais com cinco vértices iluminados é [tex]\boxed{C_{6,5} \cdot 2^5=192}\,.[/tex]
4) Sinal com seis vértices iluminados
Para a definição desse sinal, é necessário escolher:
[tex]\quad (i)[/tex] Seis vértices para serem iluminados, o que pode ser feito de [tex]C_{6,6}[/tex] modos;
[tex]\quad (ii)[/tex] A cor de cada vértice: [tex]2^6[/tex] modos.
Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de sinais com seis vértices iluminados é [tex]\boxed{C_{6,6} \cdot 2^6=64}\,.[/tex]
Portanto, o número total de sinais transmitidos é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$160+240+192+64=656$}\,.[/tex]
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