Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(IME) Sejam [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] as raízes da equação [tex]x^2+(m-15)x+m=0[/tex].
Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para [tex]m[/tex].
Lembrete
(1) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de [tex]x[/tex] e o coeficiente de [tex]x^2[/tex], ou seja, a soma das raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] é dada por [tex]\boxed{\dfrac{-b}{a}}[/tex].
(2) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente [tex]c[/tex] e o seu coeficiente de [tex]x^2[/tex], o que implica dizer que o produto das raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] é dado por [tex]\boxed{\dfrac{c}{a}}[/tex].
(Para conhecer um pouco mais sobre as relações de Girard, cliquem AQUI)
Solução
Com os dados do enunciado e com as informações do Lembrete, podemos montar o seguinte sistema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} x_{1} + x_{2}=-m+15 \\ x_{1} \cdot x_{2}=m \end{cases}\quad .[/tex]
Substituindo o valor de [tex]m[/tex] dado pela segunda equação na primeira, obtemos:
[tex]\qquad \qquad x_{1} + x_{2}=- x_{1}\cdot x_{2}+15[/tex]
[tex]\qquad \qquad x_{1} + x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=15.[/tex]
Adicionando uma unidade a ambos os lados da última equação, segue que:
[tex]\qquad \qquad x_{1} + x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}+1=15+1[/tex]
[tex]\qquad \qquad x_{1} + x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}+1=16.[/tex]
Pondo [tex]x_{1}[/tex] em evidência no lado esquerdo da última igualdade:
[tex]\qquad \qquad x_{1} \cdot (x_{2} + 1) + (x_{2}+1)=16.[/tex]
Colocando, agora, [tex]x_{2}+1[/tex] em evidência:
[tex]\qquad \qquad (x_{1}+1) \cdot (x_{2} + 1) =16.[/tex]
Como [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] são números inteiros, temos [tex]6[/tex] casos para analisar a partir da última equação:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x_{1}+1 & x_{2}+1 & \left(x_{1}+1\right)\cdot \left(x_{2}+1\right) \\ \hline
1 & 16 & 16 \\ \hline
-1 & -16 & 16 \\ \hline
2 & 8 & 16 \\ \hline
-2 &-8 & 16 \\ \hline
4 & 4 & 16 \\ \hline
-4 & -4 & 16 \\ \hline
\end{array}[/tex]
Em cada análise, lembre-se que [tex]m=x_{1}\cdot x_{2}.[/tex]
- Primeiro caso:
Se [tex]x_{1}=0[/tex] e [tex]x_{2}=15[/tex], temos que [tex]m=0[/tex]. - Segundo caso:
Se [tex]x_{1}=-2[/tex] e [tex]x_{2}=-17[/tex], temos que [tex]m=34[/tex]. - Terceiro caso:
Se [tex]x_{1}=1[/tex] e [tex]x_{2}=7[/tex], temos que [tex]m=7[/tex]. - Quarto caso:
Se [tex]x_{1}=-3[/tex] e [tex]x_{2}=-9[/tex], temos que [tex]m=27[/tex]. - Quinto caso:
Se [tex]x_{1}=3[/tex] e [tex]x_{2}=3[/tex], temos que [tex]m=9[/tex]. - Sexto caso:
Se [tex]x_{1}=-5[/tex] e [tex]x_{2}=-5[/tex], temos que [tex]m=25[/tex].
Portanto, o conjunto dos valores possíveis para [tex]m\, [/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \{ 0,7,9,25,27,34\}$}\,.[/tex]
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