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Meu professor apresentou dois números e pediu para que eu determinasse uma equação do segundo grau que tivesse os dois números como raízes… |
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NÃO!!! |
Relações de Girard para equações do segundo grau
Já sabemos que uma “equação do segundo grau na variável [tex]x[/tex] e com coeficientes reais” é uma equação da forma
[tex]\qquad\qquad ax^2+bx+c=0[/tex],
onde [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais, com [tex]a\ne 0[/tex], ditos coeficientes da equação:
• [tex]a[/tex] é dito o coeficiente de [tex]x^2[/tex];
• [tex]b[/tex] é dito o coeficiente de [tex]x[/tex];
• [tex]c[/tex] é dito o coeficiente independente.
O que discutiremos aqui é que existem relações entre os coeficientes de uma equação desse tipo e suas raízes. Essas relações foram descobertas pelo matemático Albert Girard (você pode encontrar a biografia desse matemático em Nossa Biblioteca) e, portanto, são conhecidas como relações de Girard.
(i) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de [tex]x[/tex] e o coeficiente de [tex]x^2[/tex], ou seja, a soma das raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] é dada por [tex]\dfrac{-b}{a}[/tex].
Pela fórmula resolutiva de equações do segundo grau, tem-se que as raízes da equação [tex] \, \, ax^2+bx+c = 0 \, \, [/tex] são dadas por
[tex]\qquad \qquad x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex], com [tex]\Delta =b^2-4ac[/tex].
Então, a soma das raízes é igual a:
[tex]\qquad \qquad x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b-b+\sqrt{\Delta}-\sqrt{\Delta}}{2a}=\\
\qquad \qquad \quad\quad\qquad =\dfrac{-2b}{2a}=\dfrac{-b}{a}.[/tex]
Assim, de fato,
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#FFE4C4}{$ \, x_1+x_2=\dfrac{-b}{a} \, $}[/tex] . (I)
(ii) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente [tex]c[/tex] e o seu coeficiente de [tex]x^2[/tex], o que implica dizer que o produto das raízes da equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] é dado por [tex]\dfrac{c}{a}[/tex].
Sendo
[tex]\qquad \qquad x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad [/tex] e [tex]\qquad x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad [/tex]
as raízes da equação do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], o produto dessas raízes será dado por:
[tex]\qquad \begin{align*}x_1\cdot x_2 &= \left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\cdot \left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\\
&=\dfrac{(-b)^2+b\sqrt{\Delta}-b\sqrt{\Delta}-\Delta}{4a^2} \\
&= \dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} = \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\
&= \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}\,.
\end{align*}[/tex]
Logo, necessariamente,
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#FFE4C4}{$ \, x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \, $}[/tex] . (II)
Se você já estudou números complexos, perceba que não consideramos as raízes da equação sendo números reais. Assim as relações (I) e (II) são válidas mesmo que as raízes da equação do segundo grau sejam não reais.
Aplicação: Para determinarmos a soma e o produto das raízes de uma equação de segundo grau, não é necessário resolvê-la.
Ilustraremos esse resultado com alguns exemplos.
Exemplo 1: Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação [tex]2x^2+7x+6 = 0 \, [/tex]?
Solução: Chamemos de [tex] \, S \, [/tex] a soma e [tex] \, P \, [/tex] o produto, então temos [tex] \, \, S = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-7}{2} \, \, [/tex] e [tex] \, \, P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{2} = 3 \, \, [/tex].
Exemplo 2: Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação [tex]x^2+4x-9 = 0 \, [/tex].
Solução: Sendo [tex] \, S \, [/tex] a soma e [tex] \, P \, [/tex] o produto, então temos [tex] \, \, S = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-4}{1} = -4 \, \, [/tex] e [tex] \, \, P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-9}{1} = -9 \, \, [/tex].
Exemplo 3: Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação [tex]2x^2+5x = 0 \, [/tex].
Solução: Temos a soma dada por [tex] \, \, S = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-5}{2} \, \, [/tex] e o produto por [tex] \, \, P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{0}{2} = 0 \, \, [/tex].
Neste exemplo, o valor do produto das raízes é igual a [tex]0[/tex] e isso ocorre pelo fato da equação em questão ter uma raiz com valor [tex]0[/tex].
Observação importante: Veja que, no Exemplo 2, a soma das raízes é igual ao coeficiente de [tex]x[/tex] com o sinal trocado e o produto é igual ao coeficiente independente.
Isso acontece com todas as equações do segundo grau cujo coeficiente de [tex]x^2[/tex] é igual a [tex]1[/tex].
Aplicação: Além do que foi visto, podemos obter uma equação do segundo grau que possua raízes cuja soma e cujo produto sejam dois números [tex] \, S \, [/tex] e [tex] \, P[/tex], previamente escolhidos. Para isto basta tomarmos a equação [tex]x^2-Sx+P=0[/tex], pois teremos como soma das raízes [tex]\dfrac{-(-S)}{1}=S[/tex] e como produto das raízes [tex]\dfrac{P}{1}=P[/tex].
Veja, a seguir, um exemplo.
Exemplo 4:
Encontre uma equação do segundo grau que possua [tex]-3[/tex] e [tex]2[/tex] como suas raízes.
Solução: Bem, a soma dessas raízes é [tex]S = -3+2 = -1[/tex] e o produto é [tex]P = (-3)\cdot 2 = -6[/tex]; então, como foi visto, a equação pode ser da forma [tex]x^2-Sx+P = 0[/tex], ou seja, uma equação do segundo grau que possui como raízes os números [tex] \, -3 \, [/tex] e [tex] \, 2 \, [/tex] é a equação [tex] \, x^2+x-6 = 0 \, [/tex].
Para pensar…
Um problema como o do Exemplo 4 sempre tem solução?
Em caso positivo, como no nosso exemplo, a equação obtida é única?
Francimar de Brito Vieira
Equipe COM – OBMEP
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Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui. |