.Problemão: Qual caixa é mais pesada?

Problema


Uma caixa cúbica contém [tex]27[/tex] bolas idênticas. Uma segunda caixa, idêntica à primeira, contém [tex]64[/tex] bolas idênticas, porém menores do que as primeiras. Todas as bolas são feitas do mesmo material.
As duas caixas estão cheias até o topo. Em cada caixa, cada camada tem o mesmo número de bolas e cada bola da borda de uma camada toca os lados da caixa.

  • Qual caixa é mais pesada?
  • Tente com outros números cúbicos. Apresente uma generalização para esse problema.

Solução


Uma caixa possui [tex]3 \times 3 \times 3[/tex] bolas grandes e a outra caixa possui [tex]4 \times 4 \times 4[/tex] bolas menores. Como as caixas são idênticas, então o diâmetro da bola maior é [tex]\dfrac{4}{3}[/tex] do diâmetro da bola menor. Veja na figura a seguir uma camada de bolas de cada caixa.

Assim, o volume da bola maior (e, consequentemente, seu peso) equivale a [tex]\dfrac{64}{27}[/tex] do volume da bola menor.
Quanto à quantidade de bolas, há [tex]\dfrac{27}{64}[/tex] bolas grandes em relação às menores e, portanto, as duas caixas têm o mesmo peso.


Podemos generalizar o problema para outros pares de números cúbicos: o raciocínio será análogo ao da resolução acima.
Vejamos.
Vamos supor que em uma caixa tenhamos [tex]p \times p \times p[/tex] bolas grandes e em uma outra caixa, idêntica à primeira, tenhamos [tex]q \times q \times q[/tex] bolas menores (Nesse caso [tex]p \lt q[/tex]). Como as caixas são idênticas, o diâmetro da bola maior é [tex]\dfrac{q}{p}[/tex] do diâmetro da bola menor.
O volume da bola maior equivale a [tex]\dfrac{q^3}{p^3}[/tex] do volume da bola menor.
O número de bolas grandes é [tex]\dfrac{p^3}{q^3}[/tex] do número de bolas menores. Multiplicando o número de bolas pelos seus respectivos pesos chegamos a um mesmo valor e, portanto, as caixas têm o mesmo peso.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

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