Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Se apagarmos 3 marcações de uma régua de 6 centímetros e removermos os três números escritos abaixo delas, teremos uma nova régua com quatro marcações.
Usando essa nova régua também poderemos medir, em números inteiros, todas as distâncias de 1 a 6 centímetros. Por exemplo, podemos medir 2 centímetros, pois esta é a distância entre as marcas 4 e 6.
Qual o número máximo de marcações e quais os números que podemos remover de uma régua de 11 centímetros para, ainda, continuarmos medindo todas as distâncias inteiras de 1 a 11 centímetros? Justifique sua resposta.
Solução
Afirmação: O número máximo de marcações que podemos remover é 6.
Justificativa: Para que possamos medir a distância de 11 centímetros, devemos deixar as marcas 0 e 11.
Deixando também as marcas
[tex]\qquad a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], com [tex]0 \lt a \lt b \lt c \lt 11[/tex],
poderíamos medir as distâncias
[tex]\qquad a\; ;\;\; b\;; \;\; c\;; \;\; 11\;; \;\; b-a\;; \;\; c-a\;; \;\; 11-a\;;\;\;c-b\;; \;\; 11-b\;; \;\; 11-c \, ,[/tex]
sendo que algumas dessas podem ser iguais.
Dessa forma, poderíamos medir até dez distâncias de 1 a 11, no máximo. Nesse caso, haveria, então, pelo menos uma distância inteira de 1 a 11 que não poderia ser medida.
Sendo assim, é necessário deixar pelo menos quatro marcas além de 0 e 11, ou seja, deixar um mínimo de seis marcas, removendo no máximo seis outras marcas.
Um exemplo de régua com seis marcações:
As diferenças entre os números restantes serão:do número 0 ao número 1: 1;
do número 4 ao número 6: 2;
do número 1 ao número 4: 3;
do número 0 ao número 4: 4;
do número 1 ao número 6: 5;
do número 0 ao número 6: 6;
do número 4 ao número 11: 7;
do número 1 ao número 9: 8;
do número 0 ao número 9: 9;
do número 1 ao número 11: 10;
do número 0 ao número 11: 11;
e, portanto, conseguiremos medir todas as distâncias inteiras de 1 a 11 centímetros!
Solução elaborada pelo Clube AS PRIMAS E EU,
com contribuições dos Moderadores do Blog.