Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Qual o menor inteiro positivo que possui o mesmo número de divisores naturais de [tex]2004[/tex]?
Ajuda
Você sabe como calcular a quantidade de divisores de um dado número natural?
Podemos fazer isso utilizando a decomposição canônica do número em questão como produto de números primos. Se você não se lembra de como fazer isso, consulte as Salas:
Solução
Fatorando [tex]2004[/tex] obtemos
[tex]\qquad 2004 = 2^2 \times 3 \times 167[/tex],
havendo, portanto, [tex] (2 +1) \times (1+1) \times (1 +1) = 12[/tex] divisores naturais de [tex]2004[/tex].
Assim, os números inteiros que possuem [tex]12[/tex] divisores naturais têm sua decomposição canônica em um dos seguintes formatos:
[tex]\quad \boxed{a^{11}}\quad [/tex] , [tex]\quad \boxed{a^5 \times b}\quad [/tex] , [tex]\quad \boxed{a^3 \times b^2}\quad [/tex] ou [tex]\quad \boxed{a^2 \times b \times c} \, .[/tex]
A fim de obtermos os menores números inteiros de cada formato, tomamos os menores números primos, escolhendo o menor deles, em cada caso, para ficar com o maior expoente.
Deste modo obteremos os números:
- [tex]2^{11} = 2048[/tex],
- [tex]2^5 \times 3 = 96[/tex],
- [tex]2^3 \times 3^2 = 72[/tex],
- [tex]2^2 \times 3 \times 5 = 60[/tex].
Logo, o menor número inteiro positivo com [tex]12[/tex] divisores também positivos é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.