.Problemão: Data de aniversário

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

(Prova Final da Olimpíada de Matemática de São Paulo, [tex]1979[/tex] – Oitava Série) Peça a um amigo que multiplique o dia do seu aniversário por [tex]12[/tex], o mês do aniversário por [tex]31[/tex] e some os dois resultados.
a) Suponha que seu amigo seguiu as instruções e a soma deu [tex]368[/tex]. Quando é o aniversário dele?
b) Para um outro amigo a soma deu [tex]191[/tex]. Quando é o aniversário?
c) Demonstre que, dada a soma, a data é determinada de modo único, isto é, dada a soma, nunca haverá dúvida de quando é o aniversário.

Solução

a) Sejam [tex]d[/tex] e [tex]m[/tex], respectivamente, o dia e o mês do nascimento. Então, [tex]12d+31m=368[/tex].
Como [tex]12[/tex] e [tex]368[/tex] são divisíveis por [tex]4[/tex], [tex]m[/tex] tem que ser divisível por [tex]4[/tex], já que [tex]31[/tex] é primo, além de ser menor que [tex]12[/tex]. Assim, os únicos valores possíveis para [tex]m[/tex] são [tex]4[/tex] ou [tex]8[/tex]. Vamos analisá-los:

• se [tex]m=4[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro;
• para [tex]m=8[/tex], obtemos [tex]d=10[/tex];

logo, o aniversário do seu primeiro amigo é dia [tex]\boxed{\text{10 de agosto}}.[/tex]

b) Agora, temos [tex]12d+31m=191[/tex].
Observe que [tex]m \le 6[/tex] e [tex]191-31m[/tex] deve ser divisível por [tex]12[/tex]. Testando os valores de [tex]m[/tex] temos:

• para [tex]m=1[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro;
• para [tex]m=2[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro;
• para [tex]m=3[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro;
• para [tex]m=4[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro;
• para [tex]m=5[/tex], [tex]d=3[/tex];
• para [tex]m=6[/tex], [tex]d[/tex] não é inteiro.

Assim, [tex]m=5[/tex] e [tex]d=3[/tex] e, portanto, o aniversário do seu segundo amigo é dia [tex]\boxed{\text{3 de maio}}.[/tex]

c) Para mostrar que, conhecida uma soma, não há dúvidas quanto à data a ela associada, devemos mostrar que é impossível haver um número [tex]N[/tex] que seja associado a duas datas distintas [tex]d;m[/tex] e [tex]d’;m'[/tex]. Faremos isso mostrando que, se uma soma [tex]N[/tex] decorre de duas datas [tex]d;m[/tex] e [tex]d’;m'[/tex], onde [tex]d[/tex] e [tex]d’[/tex] são os dias e [tex]m[/tex] e [tex]m’[/tex] os meses do nascimento, necessariamente teremos [tex]d=d'[/tex] e [tex]m=m'[/tex]. Vamos lá!
Seja, então, [tex]N[/tex] a soma associada às datas [tex]d;m[/tex] e [tex]d’;m'[/tex]; com isso:
[tex]\qquad \qquad N=12d+31m; \qquad \textcolor{#800000}{(I)}[/tex]
[tex]\qquad \qquad N=12d’+31m’ \qquad \textcolor{#800000}{(II)}.[/tex]
Mostremos que [tex]d=d'[/tex] e [tex]m=m'[/tex].

Subtraindo a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(II)}[/tex] da igualdade[tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \qquad 0=12(d-d’)+31(m-m’)\\
\qquad \qquad 31(m-m’)=12(d’-d).\qquad \textcolor{#800000}{(III)}[/tex]
Observe que [tex]d’-d[/tex] e [tex]m-m’[/tex] são inteiros; desse modo, de [tex]\textcolor{#800000}{(III)}[/tex], concluímos que [tex]12(d’-d)[/tex] deve ser divisível por [tex]31[/tex], que é um número primo. Daí, segue que [tex]d’-d[/tex] é múltiplo de [tex]31[/tex]; porém, veja que [tex]d’-d[/tex] não é maior que [tex]30[/tex]. Com isso, [tex]d’-d=0[/tex], isto é, [tex]\boxed{d=d’}.[/tex]
Mas, sendo [tex]d’-d=0[/tex], de [tex]\textcolor{#800000}{(III)}[/tex] segue que [tex]m-m’=0[/tex], o que implica [tex]\boxed{m=m’}.[/tex]

Portanto, nunca haverá dúvida de quando é o aniversário.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.