.Problemão: Ângulos e Alturas

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Calcular a medida do maior ângulo de um triângulo cujas alturas medem [tex]12[/tex], [tex]15[/tex] e [tex]20[/tex] unidades de comprimento.

Solução


A área de um triângulo é dada por [tex]\dfrac{base \times altura}{2}[/tex]; assim, se [tex]a, \; b, \; c[/tex] são as medidas dos lados de um triângulo e [tex]h_a, h_b, h_c[/tex] as medidas das alturas relativas a esses lados, respectivamente, então:
[tex]\qquad Área=\dfrac{ah_a}{2}=\dfrac{bh_b}{2}=\dfrac{ch_c}{2}[/tex].
Particularmente, em um triângulo cujas alturas medem [tex]12[/tex], [tex]15[/tex] e [tex]20[/tex] teremos que:
[tex]\qquad \dfrac{ah_a}{2}=\dfrac{bh_b}{2}=\dfrac{ch_c}{2} \\
\qquad \dfrac{20a}{2}=\dfrac{15b}{2}=\dfrac{12c}{2}\\
\qquad 20a=15b=12c \\
\qquad \dfrac{20a}{60}=\dfrac{15b}{60}=\dfrac{12c}{60}\\
\qquad \dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}.\\
[/tex]
Desse modo, o triângulo de lados [tex]a,\; b, \; c[/tex] seria semelhante a um triângulo de lados [tex]3, 4, 5[/tex], que é um triângulo retângulo.
Assim, o triângulo em questão é um triângulo retângulo e, portanto, seu maior ângulo é [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90^\circ$}\,[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Códigos Infinitos.

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