Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine todas as soluções reais da equação [tex]\boxed{(x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0} \, .[/tex]
Lembretes
(1) Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito:
[tex]\qquad \qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.[/tex]
(2) Se [tex]a, b \in \mathbb{R}[/tex] e [tex]a^2=b^2[/tex], então [tex]a=b[/tex] ou [tex]a=-b.[/tex]
Solução
Vamos reescrever a equação em questão colocando o fator [tex]8x[/tex] em evidência e substituindo [tex]15x^2[/tex] por [tex]16x^2-x^2.[/tex] Com isso, temos que:
[tex]\qquad (x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0[/tex]
[tex]\qquad (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2-x^2=0 [/tex]
[tex]\qquad (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2=x^2. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Repare que há um Trinômio Quadrado Perfeito do lado esquerdo da última igualdade; assim, podemos utilizar o Lembrete 1 e obter que:
[tex]\qquad \begin{align*}&(x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2 \\
&=(x^2+x+4)^2+2 \cdot(x^2+x+4) \cdot (4x)+(4x)^2\\
&=(x^2+x+4+4x)^2. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\end{align*}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad (x^2+x+4+4x)^2=x^2.[/tex]
A partir dessa última igualdade, pelo Lembrete 2, temos duas possibilidades:
[tex]x^2+x+4+4x=x \quad[/tex] ou [tex]\quad x^2+x+4+4x=-x.[/tex]
Vamos analisar cada uma delas.
- De [tex]x^2+x+4+4x=x[/tex], segue que [tex]x^2+4x+4=0[/tex] e esta é uma equação do segundo grau com uma única solução: [tex]\boxed{x=2} \, .[/tex]
- De [tex]x^2+x+4+4x=-x[/tex], segue que [tex]x^2+6x+4=0[/tex] e esta é também uma equação do segundo grau, mas com duas soluções: [tex]\boxed{x=-3+\sqrt{5}}[/tex] ou [tex]\boxed{x=-3-\sqrt{5}} \, .[/tex]
Portanto, a equação [tex](x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0[/tex] tem três soluções:
[tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=2$} \, \, [/tex]; [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2=-3+\sqrt{5}$} \, \, [/tex]; [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_3=-3-\sqrt{5}$} \, .[/tex]
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