.Problema: Triângulo mágico

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)


Na figura a seguir, os números 1, 2 e 3 foram colocados nos vértices do triângulo.
Preencha os demais círculos da figura com os números naturais de 4 a 9, sem repeti-los, de modo que a soma dos números de cada lado resulte 17.
Numerosemtriangulos

Solução 1


Suponhamos que A=1, B=2 e C=3.

  • Na reta AB, já temos a soma 3 que subtraída de 17 resulta em 14. As únicas combinações possíveis, sem repetir os números, seriam 9 e 5 ; 8 e 6.
  • Na reta BC, temos a soma 5 que subtraída de 17 resulta em 12. As únicas combinações possíveis, sem repetir os números, seriam 8 e 4 ; 7 e 5.
  • Na reta AC, temos a soma 4 que subtraído de 17 resulta em 13. As únicas combinações possíveis, sem repetir os números, seriam 7 e 6 ; 9 e 4.

Com esse pensamento vemos que nas combinações das linhas se repete sempre um número exceto nas seguintes combinações

  • (partindo do 1 em sentido horário): 1,5,9,2,8,4,3,6,7 voltando ao 1.
  • outra combinação seria (partindo do 1 em sentido horário): 1,6,8,2,7,5,3,9,4 voltando ao 1.


Solução elaborada pelo COM Mini-einstein’s .

Solução 2


Observando as somas dos números já contidos em cada fileira, vemos que já temos em cada uma delas um resultado de 3 , 4 e 5. Sendo assim, faltará, respectivamente, 14 , 13 e 12 em cada fileira.
Encontramos duas possíveis respostas para cada soma de números:

  • Entre os números 1 e 2 , cuja soma é 3, precisamos dispor dois números cuja soma seja 14. Temos duas possibilidades
    A) 5 + 9 = 14 = 9 + 5,
    B) 8 + 6 = 14 = 6 + 8.
  • Entre os números 1 e 3, cuja soma é 4, precisamos completar a linha com dois números cuja soma seja 13. As duas possibilidades são:
    A) 6 + 7 = 13 = 7 + 6,
    B) 4 + 9 = 13 = 9 + 4.
  • E entre os números 3 e 2, cuja soma é 5, a soma dos dois números restantes deve ser 12, nos deixando outras duas possibilidades:
    A) 8 + 4 = 12 = 4 + 8,
    B) 7 + 5 = 12 = 5 + 7.

Portanto, as duas possíveis maneiras de preencher o triângulo, a menos da mudança das parcelas na soma, nos dão os seguintes resultados:
No primeiro triângulo:
1 + 5 + 9 + 2 = 17,
2 + 4 + 8 + 3 = 17,
3 + 7 + 6 + 1 = 17.

No segundo triângulo:
1 + 8 + 6 + 2 = 17,
2 + 5 + 7 + 3 = 17,
3 + 9 + 4 + 1 = 17.

julio1


Solução elaborada pelo COM AS PRIMAS E EU .

Participaram da discussão os Clubes: AS PRIMAS E EU ; Mini-einstein’s; Mirim Aprendiz.

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