.Problema: Segredos de um cadeado

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

O cadeado com segredo mostrado na figura possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de

$0$ a

$9$ .

Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: $237$ , $366$ , $593\cdots$ )
$\textcolor{#800000}{a)}$ Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito $3$ deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez?
$\textcolor{#800000}{b)}$ Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito $3$ aparece obrigatoriamente?

(UFPR, 2010 – 2ª Fase.)

Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três eventos:

explicador_p Se

um evento E1 puder ocorrer de $m_1$ maneiras,
um evento E2 puder ocorrer de $m_2$ maneiras,
um evento E3 puder ocorrer de $m_3 \,$ maneiras,

e todos esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo (E1 e E2 e E3) é
$\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \,.$
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Princípio Aditivo, para três eventos: Se

um evento E1 puder ocorrer de $m_1$ maneiras,
um evento E2 puder ocorrer de $m_2$ maneiras,
um evento E3 puder ocorrer de $m_3$ maneiras,

e esses eventos forem independentes entre si (isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro), então a quantidade de maneiras em que ocorre um dos três eventos (E1 ou E2 ou E3) é
$\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + m_3 }\, .$

Solução

$\textcolor{#800000}{a)}$ Como temos três engrenagens e o dígito

$3$ deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez, teremos três casos a considerar para o segredo do cadeado:

$\textcolor{#800000}{(i)}$ O dígito $3$ aparece na primeira engrenagem:

$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline 3 & & \\ \hline \end{array}$
Neste caso, para a

$2^{\underline{a}}$ e

$3^{\underline{a}}$ engrenagens podemos usar os dígitos

$0,1,2,4,5,6,7,8$ e

$9$ , ou seja, temos

$9$ possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos

$\boxed{1\cdot 9\cdot 9=81}$ segredos.

$\textcolor{#800000}{(ii)}$ O dígito $3$ aparece na segunda engrenagem:
$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline & 3 & \\ \hline \end{array}$
Da mesma maneira, para a $1^{\underline{a}}$ e $3^{\underline{a}}$ engrenagens podemos usar os dígitos $0,1,2,4,5,6,7,8$ e $9$ , ou seja, temos $9$ possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos $\boxed{ 9\cdot 1\cdot 9=81}$ segredos.

$\textcolor{#800000}{(iii)}$ O dígito $3$ aparece na terceira engrenagem:
$\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{\underline{a}} & 2^{\underline{a}} & 3^{\underline{a}} \\ \hline & &3 \\ \hline \end{array}$
Como nos casos $\textcolor{#800000}{(i)}$ e $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , para a $1^{\underline{a}}$ e $2^{\underline{a}}$ engrenagens podemos usar os dígitos $0,1,2,4,5,6,7,8$ e $9$ , ou seja, temos $9$ possibilidades para cada engrenagem. Pelo Princípio Multiplicativo temos $\boxed{9\cdot 9\cdot 1=81}$ segredos.

Finalmente, pelo Princípio Aditivo temos $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81+81+81=243$}\,$ possibilidades diferentes para a escolha do segredo, com o dígito $3$ aparecendo obrigatoriamente uma única vez.

$\textcolor{#800000}{b)}$ Como queremos calcular a probabilidade de escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito $3$ aparece obrigatoriamente, devemos calcular a quantidade de segredos com essas condições e dividir esse valor pelo total de segredos possíveis. (Para relembrar um pouco sobre Probabilidade, dê uma passadinha nesta sala)

Primeiro, vamos calcular o total de segredos. Neste caso, para cada engrenagem temos $10$ possibilidades para os dígitos, ou seja, $\,\fcolorbox{black}{#cedce9}{$10\cdot 10 \cdot 10=1000$}$ segredos.
Agora, além de o dígito $3$ aparecer obrigatoriamente, os outros dois dígitos devem ser diferentes entre si e do $3$ . Assim, novamente temos três casos a considerar:

$\textcolor{#800000}{(i)}$ $\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline 3 & & \\ \hline \end{array}$
Neste caso, para a $2^{a}$ engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a $3^{a}$ podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos $\boxed{1\cdot 9\cdot 8=72}$ segredos.

$\textcolor{#800000}{(ii)}$ $\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline &3 & \\ \hline \end{array}$
Da mesma maneira, para a $1^{a}$ engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a $3^{a}$ podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos $\boxed{ 9\cdot 1\cdot 8=72}$ segredos.

$\textcolor{#800000}{(iii)}$ $\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1^{a} & 2^{a} & 3^{a} \\ \hline & &3 \\ \hline \end{array}$
Como nos casos anteriores, para a $1^{a}$ engrenagem podemos utilizar nove dígitos e para a $2^{a}$ podemos usar oito dígitos. Pelo Princípio Multiplicativo temos $\boxed{9\cdot 8\cdot 1=72}$ segredos.
Assim, pelo Princípio Aditivo temos $\,\fcolorbox{black}{#cedce9}{$72+72+72=216$}$ segredos com três dígitos distintos e o $3$ aparecendo obrigatoriamente.

Portanto, a probabilidade, $P$ , desejada é dada por $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\dfrac{216}{1000}=0,216$}\,$ ou $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=21,6\%$}\,.$

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