.Problema para ajudar na escola: Vamos contar?

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(OME, 2003 – Adaptado) Quantas ternas ordenadas [tex](x, y, z)[/tex] de números naturais maiores do que [tex]1[/tex] são tais que [tex] \, \boxed{x \cdot y \cdot z=5^{30}}[/tex]?

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Ajuda

A soma dos [tex]t[/tex] primeiros números naturais não nulos é dada por
[tex]\qquad \qquad \boxed{1+2+3+ \cdots+t=\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}}[/tex]. (Se precisar, visite esta página.)

Solução


Sejam [tex]x, y, z[/tex] números naturais maiores do que [tex]1[/tex] tais que [tex] \, \boxed{x \cdot y \cdot z=5^{30}}.[/tex]
Como [tex]5[/tex] é primo e [tex]x, y, z[/tex] são números naturais maiores do que [tex]1[/tex], então:

  • [tex]x \cdot y \cdot z=5^a \cdot 5^b \cdot 5^c=5^{a+b+c}=5^{30}[/tex], com [tex] a,b,c[/tex] números naturais não nulos.

Dessa forma, o número de ternas ordenadas [tex](x, y, z)[/tex] de números naturais maiores do que [tex]1[/tex] tais que [tex]x \cdot y \cdot z=5^{30}[/tex] é igual ao número de ternas ordenadas [tex](a, b, c)[/tex] de números naturais não nulos tais que [tex]a+b+c=30.[/tex]
Vamos então fazer a contagem das ternas ordenadas [tex](a, b, c)[/tex]; para isso, observe a tabela abaixo.

[tex]a[/tex] [tex]b[/tex] [tex]c[/tex] Número de ternas
[tex]1[/tex] [tex]1[/tex] [tex]28[/tex] [tex]\textcolor{red}{28}[/tex]
[tex]1[/tex] [tex]2[/tex] [tex]27[/tex]
[tex]1[/tex] [tex]3[/tex] [tex]26[/tex]
[tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex]
[tex]1[/tex] [tex]27[/tex] [tex]2[/tex]
[tex]1[/tex] [tex]28[/tex] [tex]1[/tex]
[tex]2[/tex] [tex]1[/tex] [tex]27[/tex] [tex]\textcolor{red}{27}[/tex]
[tex]2[/tex] [tex]2[/tex] [tex]26[/tex]
[tex]2[/tex] [tex]3[/tex] [tex]25[/tex]
[tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex]
[tex]2[/tex] [tex]26[/tex] [tex]2[/tex]
[tex]2[/tex] [tex]27[/tex] [tex]1[/tex]
[tex]3[/tex] [tex]1[/tex] [tex]26[/tex] [tex]\textcolor{red}{26}[/tex]
[tex]3[/tex] [tex]2[/tex] [tex]25[/tex]
[tex]3[/tex] [tex]3[/tex] [tex]24[/tex]
[tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex] [tex]\cdots[/tex]
[tex]3[/tex] [tex]25[/tex] [tex]2[/tex]
[tex]3[/tex] [tex]26[/tex] [tex]1[/tex]
[tex]\vdots[/tex] [tex]\vdots[/tex] [tex]\vdots[/tex] [tex]\vdots[/tex]
[tex]27[/tex] [tex]1[/tex] [tex]2[/tex] [tex]\textcolor{red}{2}[/tex]
[tex]27[/tex] [tex]2[/tex] [tex]1[/tex]
[tex]28[/tex] [tex]1[/tex] [tex]1[/tex] [tex]\textcolor{red}{1}[/tex]

Analisando a tabela e utilizando a fórmula do Lembrete, concluímos que o número de ternas que satisfazem as condições do problema é dado por:
[tex]\qquad \qquad 1+2+3+ \cdots+27+28=\dfrac{(1+28)\cdot 28}{2}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$406$} \, .[/tex]


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