.Problema para ajudar na escola: Valor máximo e valor mínimo

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


Seja [tex]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] a função definida por [tex]f(x)=2cos^4x+3sen^5x[/tex].
Determinar o valor máximo e o valor mínimo de [tex]f[/tex].

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Lembretes

Para resolvermos este problema, utilizaremos desigualdades básicas da trigonometria.
Se [tex]x[/tex] é um número real, então:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(1)} \, -1 \leqslant senx \leqslant 1 \, ; \,\quad \quad \textcolor{#800000}{(2)} \, 0 \leqslant sen^2x \leqslant 1 [/tex]
[tex] \quad \textcolor{#800000}{(3)} \, -1 \leqslant cosx \leqslant 1 \, ; \, \quad \quad \textcolor{#800000}{(4)} \, 0 \leqslant cos^2x \leqslant 1.[/tex]

Solução 1


Seja [tex]x[/tex] um número real.

  • Como [tex] sen^2x \geqslant 0[/tex], segue de [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] que
  • [tex]\qquad -sen^2x \leqslant sen^3x \leqslant sen^2x. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
    Como [tex] sen^2x \leqslant 1[/tex], então [tex] -1\leqslant -sen^2x \, [/tex] e, portanto, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que
    [tex]\qquad -1\leqslant -sen^2x \leqslant sen^3x \leqslant sen^2x \leqslant 1[/tex],
    ou seja,
    [tex]\qquad -1 \leqslant sen^3x \leqslant 1. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
    Utilizando mais uma vez o fato de que [tex] sen^2x \geqslant 0[/tex], segue de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] que
    [tex]\qquad -sen^2x \leqslant sen^5x \leqslant sen^2x. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
    Multiplicando as desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] por [tex]3[/tex]. obtemos:
    [tex]\qquad \boxed{-3sen^2x \leqslant 3sen^5x \leqslant 3sen^2x} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

  • Como [tex] cos^2x \geqslant 0[/tex], segue de [tex]\textcolor{#800000}{(4)}[/tex] que
  • [tex]\qquad 0 \leqslant cos^4x \leqslant cos^2x. \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
    Multiplicando agora as desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] por [tex]2[/tex] obtemos:
    [tex]\qquad \boxed{0 \leqslant 2cos^4x \leqslant 2cos^2x} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]

Somando as desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad -3sen^2x +0\leqslant 3sen^5x+ 2cos^4x \leqslant 3sen^2x+2cos^2x \, [/tex],
ou ainda
[tex]\qquad -3sen^2x \leqslant 2cos^4x+3sen^5x \leqslant 3sen^2x+2cos^2x \, . \;\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex]
Observe que [tex]2cos^2x \leqslant 3cos^2x [/tex]; assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex], segue que
[tex]\qquad -3sen^2x \leqslant 2cos^4x+3sen^5x \leqslant 3sen^2x+2cos^2x \leqslant 3sen^2x+3cos^2x \, . \;\textcolor{#800000}{(viii)}[/tex]
Por outro lado, [tex]-3sen^2x -3cos^2x\leqslant -3sen^2x[/tex] (perceba que [tex]-3cos^2x\leqslant0[/tex]), logo, utilizando as desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(viii)}[/tex], segue que
[tex]\qquad -3sen^2x -3cos^2x\leqslant -3sen^2x \leqslant 2cos^4x+3sen^5x \leqslant 3sen^2x+2cos^2x \leqslant 3sen^2x+3cos^2x \, .[/tex]
Dessa forma, obtemos que:
[tex]\qquad -3sen^2x -3cos^2x\leqslant 2cos^4x+3sen^5x \leqslant 3sen^2x+3cos^2x \, .[/tex]
[tex]\qquad -3\left(sen^2x +cos^2x\right) \leqslant 2cos^4x+3sen^5x \leqslant 3\left(sen^2x+cos^2x\right) \, .[/tex]
Como [tex]sen^2x+cos^2x=1[/tex] e [tex]f(x)=2cos^4x+3sen^5x[/tex], as últimas desigualdades nos permitem concluir que:
[tex]\qquad -3 \leqslant f(x) \leqslant 3 \, .[/tex]
Como o problema pede os valores máximo e mínimo de [tex]f[/tex], precisamos assegurar qual o menor e qual o maior valor do intervalo [tex][-3,3][/tex] que efetivamente são assumidos como imagens de [tex]f.[/tex]
Note que:
[tex]\qquad f(\frac{\pi}{2})=2cos^4\left(\frac{\pi}{2}\right)+3sen^5\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\left(cos\frac{\pi}{2}\right)^4+3\left(sen\frac{\pi}{2}\right)^5\\
\qquad f(\frac{\pi}{2})=2\cdot\left(0\right)^4+3\cdot\left(1\right)^5=3[/tex]
e
[tex]\qquad f(-\frac{\pi}{2})=2cos^4\left(-\frac{\pi}{2}\right)+3sen^5\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\left(cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)^4+3\left(sen\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)^5\\
\qquad f(-\frac{\pi}{2})=2\cdot\left(0\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^5=0-3=-3,[/tex]
assim, finalmente:

  • o valor mínimo de [tex]f[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-3$} \, [/tex],
  • o valor máximo de [tex]f[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$} \, .[/tex]


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