.Problema para ajudar na escola: Uma sequência numérica disfarçada

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


A sequência de números

  • [tex]x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3, \, \cdots \, [/tex]

está assim definida:
[tex]\qquad \qquad \begin{align*} x_1 &=2\\
x_{n+1}&=\dfrac{x_n-1}{x_n+1}, \text{ para cada inteiro positivo }n.\end{align*}[/tex]

Determinar [tex]x_{2017}[/tex].

Solução


Para tentar entender a lei de formação da sequência dada, vamos calcular alguns de seus termos iniciais:

  • [tex]x_1 =2[/tex]
  • [tex] x_{2}=\dfrac{x_1-1}{x_1+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
  • [tex] x_{3}=\dfrac{x_2-1}{x_2+1}=\dfrac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=\dfrac{\frac{1-3}{3}}{\frac{1+3}{3}}=\dfrac{\frac{-2}{\cancel{3}}}{\frac{4}{\cancel{3}}}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}[/tex]
  • [tex] x_{4}=\dfrac{x_3-1}{x_3+1}=\dfrac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}=\dfrac{\frac{-1-2}{2}}{\frac{-1+2}{2}}=\dfrac{\frac{-3}{\cancel{2}}}{\frac{1}{\cancel{2}}}=-3[/tex]
  • [tex] x_{5}=\dfrac{x_4-1}{x_4+1}=\dfrac{-3-1}{-3+1}=\dfrac{-4}{-2}=2.[/tex]

Como podemos observar que [tex]x_5=x_1[/tex] e cada termo depende APENAS do seu termo imediatamente anterior, a nossa sequência é periódica, com período [tex]4[/tex]:

  • [tex]\textcolor{red}{x_1=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_2=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_3=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_4=-3},[/tex]

    [tex]\textcolor{red}{x_5=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_6=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_7=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_8=-3},[/tex]

    [tex]\textcolor{red}{x_9=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_{10}=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_{11}=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_{12}=-3}, \, \cdots[/tex]

Desta maneira, para determinarmos o valor do termo [tex]x_{2017} \, [/tex], basta dividirmos [tex]2017[/tex] por [tex]4[/tex] e observarmos o resto da divisão:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2017 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 4 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, \, \boxed{1}
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, 504
\end{array}[/tex]

Como [tex]2017[/tex] é um múltiplo de [tex]4[/tex] mais [tex]1[/tex], a nossa sequência segue:

  • [tex]\textcolor{red}{x_1=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_2=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_3=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_4=-3},[/tex]

    [tex]\textcolor{red}{x_5=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_6=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_7=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_8=-3},[/tex]

    [tex]\textcolor{red}{x_9=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_{10}=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_{11}=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_{12}=-3},[/tex]
    [tex]\hspace{5cm} \vdots[/tex]
    [tex]\textcolor{red}{\boxed{x_{2017}=2}} \, , \, \cdots[/tex] .


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