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Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
A sequência de números
- x1,x2,x3,⋯
está assim definida:
x1=2xn+1=xn−1xn+1, para cada inteiro positivo n.
Determinar x2017.
Solução
Para tentar entender a lei de formação da sequência dada, vamos calcular alguns de seus termos iniciais:
- x1=2
- x2=x1−1x1+1=2−12+1=13
- x3=x2−1x2+1=13−113+1=1−331+33=−2343=−24=−12
- x4=x3−1x3+1=−12−1−12+1=−1−22−1+22=−3212=−3
- x5=x4−1x4+1=−3−1−3+1=−4−2=2.
Como podemos observar que x5=x1 e cada termo depende APENAS do seu termo imediatamente anterior, a nossa sequência é periódica, com período 4:
- \textcolor{red}{x_1=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_2=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_3=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_4=-3},
\textcolor{red}{x_5=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_6=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_7=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_8=-3},
\textcolor{red}{x_9=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_{10}=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_{11}=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_{12}=-3}, \, \cdots
Desta maneira, para determinarmos o valor do termo x_{2017} \, , basta dividirmos 2017 por 4 e observarmos o resto da divisão:
\qquad \qquad \begin{array}{r}
2017 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 4 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}
\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, \, \boxed{1}
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, 504
\end{array}
Como 2017 é um múltiplo de 4 mais 1, a nossa sequência segue:
- \textcolor{red}{x_1=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_2=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_3=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_4=-3},
\textcolor{red}{x_5=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_6=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_7=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_8=-3},
\textcolor{red}{x_9=2} \, , \, \textcolor{blue}{x_{10}=\dfrac{1}{3}} \, , \, \textcolor{#32CD32}{x_{11}=-\dfrac{1}{2}}, \, \textcolor{#FF00FF}{x_{12}=-3},
\hspace{5cm} \vdots
\textcolor{red}{\boxed{x_{2017}=2}} \, , \, \cdots .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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