.Problema para ajudar na escola: Uma multiplicação com astros

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)


(Quantum Magazine, 1992) No esqueminha com estrelas e luas mostrado abaixo, as luas representam um mesmo dígito.
Quanto às estrelas, embora cada uma represente um dígito, nada sabemos sobre eles.
Apesar da pouca informação, escreva numericamente a multiplicação indicada pelos astros.

Imagem extraída da revista Quantum

Solução


Iniciamos a solução fazendo algumas observações.

  • No esqueminha da multiplicação, como o segundo fator tem três dígitos, deveríamos ter três parcelas para somar e obtermos as luas. Como aparecem apenas duas parcelas, colocamos a seguinte pergunta: qual é o número que não altera uma soma?
  • Pois é, é o zero….
    Então, o segundo dígito do segundo fator do esqueminha é zero e existe uma segunda parcela formada por zeros que não foi indicada.

  • As luas representam o mesmo dígito, então o produto é da forma [tex]aaaaa[/tex], sendo [tex]a[/tex] o algarismo representado pela lua. Observe que:
  • [tex]\quad aaaaa=a\cdot 11111[/tex]
    [tex]\quad aaaaa=a\cdot (271\cdot 41)[/tex]
    com [tex]271[/tex] e [tex]41[/tex] números primos.
    Como [tex]41[/tex] tem apenas dois dígitos e o segundo algarismo de [tex]271[/tex] é diferente de zero, então [tex]\boxed{271}[/tex] é o primeiro fator da multiplicação em questão e [tex]\boxed{a \cdot 41}[/tex] é o segundo fator.

    Para encontrarmos o segundo fator da multiplicação, devemos determinar um algarismo [tex]a[/tex] de modo que [tex]a\cdot 41[/tex] seja um número de três algarismos cujo segundo dígito é zero. Vamos testar:

    • [tex]1 \times 41=41[/tex]
    • [tex]2 \times 41=82[/tex]
    • [tex]3 \times 41=123[/tex]
    • [tex]4 \times 41=164[/tex]
    • [tex]5 \times 41=205[/tex]
    • [tex]6 \times 41=246[/tex]
    • [tex]7 \times 41=287[/tex]
    • [tex]8 \times 41=328[/tex]
    • [tex]9 \times 41=369[/tex].

    Pois bem, o único algarismo que cumpre as duas condições é [tex]a=5[/tex] e, portanto, o segundo fator da multiplicação é [tex]205.[/tex]

  • Pronto; já podemos completar o esqueminha da multiplicação!

Portanto, omitindo a parcela [tex]000[/tex] do esqueminha, vemos que a representação numérica da multiplicação indicada pelos astros é a mostrada a seguir.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-uma-multiplicacao-com-astros/