.Problema para ajudar na escola: Uma gincana de fim de semana

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


O colégio Reino Feliz vai promover uma grande gincana para seus alunos com mais de onze anos no próximo final de semana e definiu o seguinte critério para a formação das equipes participantes:

  • Cada equipe deve ter mais de [tex]20[/tex] e menos de [tex]25[/tex] alunos.
  • Em cada equipe, o número de alunos com menos de catorze anos deve ser menor do que [tex]10[/tex] e maior que a metade do número de alunos com catorze anos ou mais.

De quantas maneiras distintas os alunos poderão montar as suas equipes?

Solução


Sejam [tex] \, x \, [/tex] e [tex] \, y \, [/tex], respectivamente, o número de alunos com "catorze anos ou mais" e com "menos que catorze anos" que formarão cada equipe.

Dessa forma, as informações matemáticas que podemos extrair do enunciado do problema são as seguintes:

Cada equipe deve ter mais de [tex]20[/tex] e menos de [tex]25[/tex] alunos:
[tex]\qquad \begin{cases}x+y \gt 20\\ x+y \lt 25 \end{cases}[/tex].
O número de alunos com menos de catorze anos deve ser menor do que [tex]10[/tex]:
[tex]\qquad y \lt 10.[/tex]
O número de alunos com menos de catorze anos deve ser maior que a metade do número de alunos com catorze anos ou mais:
[tex]\qquad y \gt \dfrac{x}{2}.[/tex]

Assim, o sistema de desigualdades que descreve todas as possíveis formações das equipes participantes da gincana é o seguinte:

[tex]\begin{cases}x\geqslant 0 \\ y\geqslant 0 \\y \gt 20-x\\ y \lt 25 -x\\y \lt 10\\y \gt \dfrac{x}{2} \end{cases}\quad[/tex],

lembrando que estamos interessados em soluções naturais.
Um sistema formado por desigualdades e com muitas soluções pode ser solucionado graficamente. Vejamos, portanto, como fica a solução desse sistema de desigualdades em um plano cartesiano [tex]xOy.[/tex]

  • As soluções desse sistema são os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] do plano cartesiano tais que [tex] x\geqslant 0 [/tex] e [tex] y\geqslant 0 [/tex] e que satisfazem simultaneamente às seguintes condições:
  • [tex] \boxed{y \gt 20-x}; \quad \quad \boxed{y \lt 25 -x}; \quad \quad \boxed{y \lt 10} \quad\quad \text{e} \quad\quad\boxed{y \gt \dfrac{x}{2}}\,.[/tex]

    Vamos estudar cada uma dessas condições isoladamente em [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex], com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex], para depois analisarmos as quatro simultaneamente e, por fim, escolhermos os pontos com coordenadas naturais.

    • [tex]y \gt 20-x[/tex]
    • Os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex] que satisfazem esta condição são aqueles que estão:
      – acima da reta [tex]y = 20-x[/tex];
      – à direita ou sobre o eixo [tex]Oy[/tex];
      – acima ou sobre o eixo [tex]Ox[/tex].

    • [tex]y \lt 25-x[/tex]
    • Os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex] que satisfazem esta condição são aqueles que estão:
      – abaixo da reta [tex]y=25-x[/tex];
      – à direita ou sobre o eixo [tex]Oy[/tex];
      – acima ou sobre o eixo [tex]Ox[/tex].

    • [tex]y \lt 10[/tex]
    • Os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex] que satisfazem esta condição são aqueles que estão:
      – abaixo da reta [tex]y=10[/tex];
      – à direita ou sobre o eixo [tex]Oy[/tex];
      – acima ou sobre o eixo [tex]Ox[/tex].

    • [tex]y \gt \dfrac{x}{2}[/tex]
    • Os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex] que satisfazem esta condição são aqueles que estão:
      – acima da reta [tex]y=\dfrac{x}{2}[/tex];
      – à direita ou sobre o eixo [tex]Oy[/tex];
      – acima ou sobre o eixo [tex]Ox[/tex].

    Fazendo a interseção das quatro regiões acima, obtemos a solução em [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] do sistema em questão.

    Os quatro pontos que definem a região foram obtidos fazendo a interseção das respectivas retas que os definem:

    retas [tex]y=10[/tex] e [tex]y=20-x[/tex]
    Substituindo [tex]y=10[/tex] em [tex]y=20-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=20-x[/tex]
    [tex]\qquad 10=20-x[/tex]
    [tex]\qquad x=10[/tex].
    Assim, o ponto de interseção tem coordenadas [tex](10,10).[/tex]
    retas [tex]y=10[/tex] e [tex]y=25-x[/tex]
    Substituindo [tex]y=10[/tex] em [tex]y=25-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=25-x[/tex]
    [tex]\qquad 10=25-x[/tex]
    [tex]\qquad x=15[/tex].
    Assim, o ponto de interseção tem coordenadas [tex](15,10)[/tex].
    retas [tex]y=\dfrac{x}{2}[/tex] e [tex]y=25-x[/tex]
    Substituindo [tex]y=\dfrac{x}{2}[/tex] em [tex]y=25-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=25-x\\
    \qquad \dfrac{x}{2}=25-x\\
    \qquad \dfrac{3x}{2}=25[/tex]
    [tex]\qquad x=\dfrac{50}{3}[/tex].
    Agora, substituindo [tex] x=\dfrac{50}{3}[/tex] em [tex]y=25-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=25-x\\
    \qquad y=25-\dfrac{50}{3}\\
    \qquad y=\dfrac{25}{3}[/tex]
    Assim, o ponto de interseção tem coordenadas [tex]\left(\dfrac{50}{3},\dfrac{25}{3}\right).[/tex]
    retas [tex]y=\dfrac{x}{2}[/tex] e [tex]y=20-x[/tex]
    Substituindo [tex]y=\dfrac{x}{2}[/tex] em [tex]y=20-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=20-x\\
    \qquad \dfrac{x}{2}=20-x\\
    \qquad \dfrac{3x}{2}=20[/tex]
    [tex]\qquad x=\dfrac{40}{3}[/tex].
    Agora, substituindo [tex] x=\dfrac{40}{3}[/tex] em [tex]y=20-x[/tex], segue que:
    [tex]\qquad y=20-x\\
    \qquad y=20-\dfrac{40}{3}\\
    \qquad y=\dfrac{20}{3}[/tex]
    Assim, o ponto de interseção tem coordenadas [tex]\left(\dfrac{40}{3},\dfrac{20}{3}\right).[/tex]

Assim, a solução geométrica do sistema em questão em [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex], com [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y\geqslant 0[/tex], é a seguinte:

A última etapa da nossa solução é determinar os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] da região cujas coordenadas são números naturais. Observe, então, a figura a seguir.

As soluções do sistema com coordenadas naturais são os pontos:

  • [tex](12,9)\,;\, (13,8) \,;\, (13,9)\,;\, (14,8)\,;\, (14,9)\,;\, (15,8)\,;\, (15,9)[/tex];

assim, as possíveis maneiras com que os alunos poderão montar as suas equipes são as seguintes:

[tex]\begin{array}{|c|c| c| c |c |c|}
\hline
\text{alunos com “catorze anos ou mais”}&12&13&13&14&14&15&15\\
\hline
\text{alunos com “menos que catorze anos”}&9&8&9&8&9&8&9\\
\hline
\end{array}[/tex]

Portanto, existem [tex] \fcolorbox{black}{#ffd3d3}{$\text{sete}$}[/tex] maneiras distintas de os alunos montarem as suas equipes.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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