.Problema para ajudar na escola: Uma função afim a fim de embaralhar sua cabeça

Problema
(A partir do 1º ano do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


(FGV-SP, 2007 – Adaptado) Seja [tex]f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} [/tex] uma função afim que satisfaz as seguintes condições:

  • [tex]f(1) \leqslant f(2)[/tex],
  • [tex]f(3) \geqslant f(4)[/tex],
  • [tex]f(5) = 6[/tex].

Determine [tex]f(7) .[/tex]

Solução


Se [tex]f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} [/tex] é uma função afim, então existem números reais [tex]a\;[/tex] e [tex]\;b[/tex] tais que [tex]f(x)=ax+b\, .[/tex]
Assim:

  • Da hipótese de que [tex]f(1) \leqslant f(2)[/tex], segue que:
  • [tex]\quad a\cdot 1+b \leqslant a\cdot 2+b[/tex]
    [tex]\quad a+b \leqslant 2a+b[/tex]
    [tex]\quad a\leqslant 2a[/tex]
    [tex]\quad 0\leqslant 2a-a[/tex]
    [tex]\quad 0 \leqslant a.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

  • Da hipótese de que [tex]f(3) \geqslant f(4)[/tex], segue que:
  • [tex]\quad a\cdot 3+b \geqslant a\cdot 4+b[/tex]
    [tex]\quad 3a+b \geqslant 4a+b[/tex]
    [tex]\quad 3a\geqslant 4a[/tex]
    [tex]\quad 0\geqslant 4a-3a[/tex]
    [tex]\quad a \leqslant 0.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Por [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que [tex]\boxed{\,0 \leqslant a \leqslant 0\,}\,[/tex] e, portanto, [tex]\boxed{\, a=0\, }.[/tex]
Dessa forma, a lei de formação da função [tex]f[/tex] se reduz a [tex]f(x)=b\,.[/tex]

  • Com isso, da hipótese de que [tex]f(5)= 6[/tex], segue que [tex]6=f(5)=b[/tex], ou seja, [tex]\boxed{\,b=6\,}.[/tex]

Pelo exposto, concluímos que [tex]f(x)=6,\, \forall x \in \mathbb{R}[/tex], e portanto, em particular, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\,f(7)=6\,$}\,.[/tex]


Observação importante: Na solução deste problema, utilizamos o fato de uma função afim [tex]f[/tex] ser definida por [tex]\boxed{\,f(x)=ax+b\,}[/tex], com [tex]a\;[/tex] e [tex]\;b[/tex] números reais quaisquer.
No entanto, essa definição não é uma unanimidade. Vários autores definem uma função afim [tex]f[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} [/tex]
[tex]\qquad f(x)=ax+b[/tex], sendo [tex]a\;[/tex] e [tex]\;b[/tex] números reais, com [tex]a\ne 0.[/tex]
Como nos cálculos que fizemos chegamos à conclusão de que [tex]\boxed{\, a=0\, }[/tex], utilizando essa segunda definição concluímos que a função afim [tex]f[/tex] do problema NÃO EXISTE. Consequentemente a imagem [tex]f(7) [/tex] também não existiria!
Neste caso, a resposta do problema seria: [tex]f(7)[/tex] não existe, pois a função [tex]f[/tex] não está definida.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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