.Problema para ajudar na escola: Uma fração natural

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


Para quais inteiros positivos [tex]n[/tex] o número [tex]\boxed{\,m=\dfrac{n+17}{n-7}\,}[/tex] é um inteiro positivo?

Solução


Observe, inicialmente, que
[tex]\qquad n+17=n+17+(7-7)=(n-7)+24\,.[/tex]
Assim, podemos reescrever a fração dada no problema como:
[tex]\qquad m=\dfrac{n+17}{n-7}\\
\qquad m=\dfrac{(n-7)+24}{n-7}\\
\qquad m=\dfrac{(n-7)}{n-7}+\dfrac{24}{n-7}\\
\qquad m=1+\dfrac{24}{n-7}\,.[/tex]
Dessa forma, para que a fração [tex]m[/tex] seja um número inteiro positivo, basta que [tex]n-7[/tex] seja um divisor positivo de [tex]24\,.[/tex]
Vamos, então, determinar quais são os divisores positivos de [tex]24\,.[/tex] Para isso, faremos a decomposição em fatores primos de [tex]24[/tex] e, a partir dela, determinaremos todos os seus divisores positivos.

 
[tex]\begin{array}{r|l} 24& 2 \\12& 2 \\6& 2 \\3& 3\\1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.4 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 24& 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\
12& 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\
6& 2& \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\
3& 3& \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{6}\, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{12}\, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{24}\\
1 \end{array}[/tex]

Esses oito divisores nos fornecem os seguintes valores de [tex]n[/tex]:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c| c| c}
n-7 & \quad n \quad & \text{Conferindo…}\\
\hline
1&8&m=\dfrac{25}{1}=25\\
\hline
2&9&m=\dfrac{26}{2}=13\\
\hline
4&11&m=\dfrac{28}{4}=7\\
\hline
8&15&m=\dfrac{32}{8}=4\\
\hline
3&10&m=\dfrac{27}{3}=9\\
\hline
6&13&m=\dfrac{30}{6}=5\\
\hline
12&19&m=\dfrac{36}{12}=3\\
\hline
24&31&m=\dfrac{48}{24}=2\\
\end{array}[/tex]
A segunda coluna da tabela nos mostra os possíveis inteiros positivos [tex]n[/tex] para os quais a fração [tex]\dfrac{n+17}{n-7}[/tex] é um inteiro positivo:

  • [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8,\,9,\,10,\,11,\,13,\,15,\,19 \,\text{ e }\,31$}\,.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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