.Problema para ajudar na escola: Uma calculadora defeituosa…

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(XXV OPM, 2007 – Adaptado) Lucas tem uma máquina de calcular que está com defeito:

  • o botão do zero não funciona e se o zero aparece como algarismo de um resultado, o visor não o exibe.

Lucas multiplicou um número de um algarismo por um número com dois algarismos e no visor apareceu [tex]14[/tex].
Quais são as possibilidades para os dois números multiplicados?

Solução


Observe inicialmente que, ao multiplicarmos um número com um algarismo por um número com dois algarismos como Lucas fez, obtemos um produto entre [tex]1 \times 10= 10[/tex] e [tex]9 \times 99= 891.[/tex]
Dessa forma, os possíveis resultados reais para o produto obtido por Lucas e visualizado na calculadora defeituosa como [tex]14[/tex] são [tex] 14, \, 104 [/tex] e [tex]140.[/tex]
Fatorando esses três números como produto de primos e determinando seus respectivos divisores, obtemos:

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.5 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 14 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\7 & 7 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{7} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{14}\\ 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{2 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 104 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\52 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\26 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\13 & 13 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{13} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{26} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{52} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{104} \\ 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.5 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 140& 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\70 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\35 & 5 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{5} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{10} \, \, \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{20}\\7 & 7 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{7} \, \, \, \,
\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{14} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{28} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{35} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{70} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{140}\\ 1 \end{array}[/tex]

Note que as possibilidades de se obter [tex] 14, \, 104 [/tex] e [tex]140[/tex] como produto de dois números, um de um algarismo e outro com dois algarismos, são:
[tex]\qquad 14 = 1 \times 14[/tex]
[tex]\qquad 104 = 2 \times 52=4 \times 26=8 \times 13[/tex]
[tex]\qquad 140 = 2 \times 70=4 \times 35=5 \times 28=7 \times 20.[/tex]
Uma vez que o botão com o algarismo zero não funciona, Lucas não pode ter multiplicado [tex]2[/tex] por [tex]70[/tex] e nem [tex]7[/tex] por [tex]20.[/tex]
Assim, são seis as possibilidades para os dois números multiplicados por Lucas:
[tex]\quad \boxed{1 \times 14}; \quad \boxed{2 \times 52};\quad \boxed{4 \times 26};\quad \boxed{8 \times 13}; \quad \boxed{4 \times 35};\quad \boxed{5 \times 28}.[/tex]


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