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.Problema para ajudar na escola: Uma área colorida no interior de um quadrado

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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


No interior de um quadrado de lados com comprimento 6cm, foi feito o desenho colorido mostrado na imagem abaixo.
A região colorida foi traçada a partir de arcos de circunferências com centros nos vértices do quadrado, todos passando pelo centro do quadrado.

Qual a medida da área colorida?

Solução


Conforme indicado na figura a seguir, denotaremos por:

  • O o centro do quadrado ABCD;
  • M1 o ponto médio do lado AB;
  • M2 o ponto médio do lado BC;
  • M3 o ponto médio do lado CD;
  • M4 o ponto médio do lado DA;

Observe que os segmentos OM1, OM2, OM3, OM4 dividem a região colorida em oito partes iguais, cada uma com medida de área S.
A figura abaixo nos mostra que um quarto da área do círculo de raio OC é igual à área de 2S mais a área do quadrado OM3CM2; logo, 2S corresponde à diferença entre as medidas das áreas de um quarto do círculo de raio OC e de um quadrado cujos lados medem a metade do comprimento dos lados do quadrado original ABCD.

  • Como os lados do quadrado ABCD medem 6cm, os lados do quadrado menor medem 3cm e, consequentemente, sua área mede 9cm2.(i)
  • Note que o segmento OC é a diagonal do quadrado OM2CM3 cujos lados sabemos que medem 3cm; assim, se x for a medida em centímetros de OC, pelo Teorema de Pitágoras segue que:
    x2=32+32x2=18x=32cm.
    Dessa forma, a medida da área de um quarto do círculo de raio OC é dada por π(32)24=9π2cm2.(ii)

Portanto, por (i) e (ii), temos que 2S=(9π29)cm2.
Finalmente, podemos calcular a medida da área colorida, já que esta é igual a 8S:
8S=4×(2S)=4×(9π29)=(18π36)cm2.
Logo, a medida da área colorida dada no problema é 18(π2)cm2.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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