Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Os vértices do quadrado [tex]ABCD[/tex] são pontos da circunferência exibida na figura e [tex]\stackrel{\frown}{BD}[/tex] é um arco da circunferência de centro em [tex]A[/tex] e raio [tex]AB[/tex].
Sabendo que cada lado do quadrado mede [tex]2~cm[/tex], determine a área da região colorida de amarelo.
Solução
Para solucionar este problema, vamos calcular várias áreas. Observe!
[tex]\qquad DB\,^2=AD\,^2+AB\,^2[/tex] |
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Assim: |
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Finalmente, veja que a área [tex]S[/tex] da região colorida de amarelo é a soma da área [tex] \textcolor{#FF9900}{S_1}[/tex] com duas vezes a área [tex] \textcolor{#00CC00}{S_2}[/tex]. Dessa forma:
[tex]\qquad S= \textcolor{#FF9900}{S_1}+2 \cdot \textcolor{#00CC00}{S_2}= \textcolor{#FF9900}{4-\pi}+2 \cdot \textcolor{#00CC00}{\dfrac{\pi-2}{2}}=4-\pi+\pi-2=2\,cm^2.[/tex]
Portanto, a área da região colorida de amarelo é [tex]~\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$2\,cm^2$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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