.Problema para ajudar na escola: Um quadrado inscrito em um triângulo inscrito

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Aninha inscreveu um quadrado em um triângulo que, por sua vez, está inscrito em um outro quadrado com [tex]1[/tex] metro de lado.
Qual é a área, em metros quadrados, do quadrado menor?
fig001

Solução


Observe, inicialmente, que a área do triângulo inscrito no quadrado maior é [tex]\dfrac{1}{2}.[/tex]
Observe, também, que a área desse triângulo é a soma das áreas do quadrado menor e de três triângulos menores, conforme vemos na figura abaixo.
Assim, se:

  • [tex]x[/tex] é comprimento dos lados do quadrado menor;
  • [tex]A_q[/tex] é a área do quadrado menor;
  • [tex]A_1[/tex] é a área do triângulo [tex]T_1[/tex];
  • [tex]A_2[/tex] é a área do triângulo [tex]T_2[/tex];
  • [tex]A_3[/tex] é a área do triângulo [tex]T_3[/tex];

então podemos afirmar que:
[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=A_q+A_1+A_2+A_3[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+\dfrac{x(1-x)}{2}+A_2+A_3. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Não sabemos quais são os comprimentos das bases dos triângulos [tex]T_2[/tex] e [tex]T_3[/tex], mas observamos que a soma desses comprimentos é [tex]1-x[/tex] e a altura relativa a essa base de cada um é [tex]x[/tex]. Com isso, temos que [tex]A_2+A_3=\dfrac{x(1-x)}{2}[/tex] e, portanto, segue por [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+\dfrac{x(1-x)}{2}+\left(A_2+A_3\right)[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+\dfrac{x(1-x)}{2}+\dfrac{x(1-x)}{2}[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+2 \, \dfrac{x(1-x)}{2}[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+\cancel{2} \, \dfrac{x(1-x)}{\cancel{2}}[/tex]
[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+x(1-x)[/tex]

[tex]\qquad\dfrac{1}{2}=x^2+x-x^2[/tex]

[tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{1}{2}}.[/tex]
Como o lado do quadrado menor é [tex]\dfrac{1}{2} \, m[/tex], então sua área é [tex]\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{4} \, m^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Um applet para ajudar. . .


Você pode utilizar este applet para observar duas propriedades que aparecem implicitamente na solução deste problema:

  • A medida dos lados do quadrado interno não se altera ao modificarmos a forma do triângulo.
  • O comprimento dos lados do quadrado menor é a metade do comprimento dos lados do quadrado maior.

Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para modificar a forma do triângulo inscrito, clique sobre o ponto P e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
3) Para modificar a medida do quadrado externo, clique sobre o ponto B e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
4) Você encontrará registrados no applet :

  • a medida dos lados do quadrado maior
  • a medida dos lados do quadrado menor.

5) Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.


OBMEP_srg, criado com o GeoGebra

Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

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