.Problema para ajudar na escola: Um problema não usual!

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


Quantos pares de números inteiros [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] satisfazem a igualdade [tex]a^2b^2+a^2+b^2+1=2005[/tex]?

Solução


Observe, inicialmente, que:
[tex]\qquad \begin{align*}a^2b^2+a^2+b^2+1&=\left(a^2b^2+a^2\right)+b^2+1\\
&=a^2 \left(b^2+1\right)+b^2+1\\
&=a^2 \left(b^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\\
&=\left(a^2 +1\right)\left(b^2+1\right).\\
\end{align*}[/tex]
Assim, temos que [tex]\left(a^2 +1\right)\left(b^2+1\right)=2005[/tex] e, como [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números inteiros, então [tex]a^2 +1[/tex] e [tex]b^2+1[/tex] são divisores positivos de [tex]2005[/tex].
Vamos, então, encontrar os divisores de [tex]2005[/tex]:

[tex]\begin{array}{r|l} 2005& 5 \\401 & 401 \\1 \end{array}[/tex]

Consulte esta tabela e veja que [tex]401[/tex] é primo! Depois de consultar a tabela, não se esqueça de fechar a janelinha que se abriu.

[tex]\begin{array}{c} \hspace{2.6 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 2005 & 5 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{5}\\401 & 401 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{401} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{2005}\\ 1 \end{array}[/tex]

Temos então que [tex]2005=5 \times 401[/tex] e os divisores positivos de [tex]2005[/tex] são [tex]1, \, 5, \, 401, \, 2005 \, [/tex]; vamos analisá-los.

  • Observe que [tex]a^2 +1\ne 2005[/tex]; pois, caso contrário, teríamos [tex]a^2 =2004[/tex] e sabemos que [tex]2004[/tex] não é um quadrado perfeito, já que [tex]2004=2^2 \times 3 \times 167[/tex].
  • Analogamente, [tex]b^2+1\ne 2005[/tex]; pois, caso contrário, teríamos [tex]b^2=2004[/tex] e já sabemos que [tex]2004[/tex] não é um quadrado perfeito.
  • Também [tex]a^2 +1\ne 1[/tex]; pois, caso contrário, teríamos [tex]a=0[/tex], o que acarretaria [tex]b^2+1=2005[/tex], que já sabemos não ser possível.
  • De modo análogo, [tex]b^2 +1\ne 1[/tex]; pois, caso contrário, teríamos [tex]b=0[/tex], o que acarretaria [tex]a^2+1=2005[/tex], que também não é possível.

Assim, resta-nos apenas duas possibilidades:
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]a^2 +1=5[/tex] e [tex]b^2 +1=401[/tex]: Neste caso, [tex]a^2 =4[/tex] e [tex]b^2 =400[/tex], donde [tex]a=\pm 2[/tex] e [tex]b=\pm 20[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] [tex]a^2 +1=401[/tex] e [tex]b^2 +1=5[/tex]: Neste caso, [tex]a^2 =400[/tex] e [tex]b^2 =4[/tex], donde [tex]a=\pm 20[/tex] e [tex]b=\pm 2[/tex]
A tabela abaixo nos mostra que são oito pares de números inteiros [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] que satisfazem a igualdade [tex]a^2b^2+a^2+b^2+1=2005.[/tex]

[tex]\begin{array}{|r| r | c| }
\hline
a & b & \left(a^2 +1\right)\left(b^2+1\right)\\
\hline
2 & 20 & (2^2+1)(20^2+1)=5 \cdot 401=2005\\
\hline
2 & -20 & (2^2+1)((-20)^2+1)=5 \cdot 401=2005\\
\hline
-2 & 20 & ((-2)^2+1)(20^2+1)=5 \cdot 401=2005\\
\hline
-2 & -20 & ((-2)^2+1)((-20)^2+1)=5 \cdot 401=2005\\
\hline
20 & 2 & (20^2+1)(2^2+1)=401 \cdot 5=2005\\
\hline
20 & -2 & (20^2+1)((-2)^2+1)=401 \cdot 5 =2005\\
\hline
-20 & 2 & ((-20)^2+1)(2^2+1)=401 \cdot 5=2005\\
\hline
-20 & -2 & ((-20)^2+1)((-2)^2+1)=401 \cdot 5=2005\\
\hline
\end{array}[/tex]

explicador_p

Se você não se lembra dos processos que utilizamos para encontrar os divisores de [tex]2005[/tex], consulte esta página .
Depois de terminar a leitura, não se esqueça de fechar a janelinha que irá se abrir.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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