.Problema para ajudar na escola: Um primo desafiador!

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


(Olimpíada Espanhola de Matemática, 2018) Para quais números naturais não nulos [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] o número
[tex]\qquad \qquad \boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2}[/tex]
é primo?

Solução


Observe, inicialmente, que podemos reescrever assim o número [tex]X:[/tex]
[tex]\qquad X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2[/tex]
[tex]\qquad X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2+(mn-mn)[/tex]
[tex]\qquad X=n^2+2019mn+2019m+n-2019m^2-mn[/tex]
[tex]\qquad X=\left(n^2+n-mn\right)+\left(2019mn+2019m-2019m^2\right)[/tex]
[tex]\qquad X=n\left(n+1-m\right)+2019m\left(n+1-m\right)[/tex]
[tex]\qquad X=\left(n+2019m\right)\left(n+1-m\right).[/tex]
Como por hipótese [tex]n,m\geqslant 1[/tex], então [tex]\left(n+2019m\right)\gt 1[/tex]. Assim, para que [tex]X[/tex] seja um número primo, necessariamente
[tex]\left(n+2019m\right)[/tex] é um número primo e [tex]\left(n+1-m\right)=\pm 1.[/tex] (Se você estranhou a condição de que [tex]\left(n+1-m\right)=-1[/tex], observe que [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são positivos, mas [tex]X[/tex] pode ser negativo.)
Vamos analisar a condição [tex]\left(n+1-m\right)=\pm 1[/tex]

    [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Se [tex]\left(n+1-m\right)=1[/tex], então [tex]n=m[/tex] e, neste caso, teríamos
    [tex]\qquad \qquad n+2019m=n+2019n=2020n=2\times (1010n).[/tex]
    Como [tex](1010n) \gt 1[/tex], o fator [tex]\left(n+2019m\right)[/tex] não seria um número primo.
    [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Se [tex]\left(n+1-m\right)=-1[/tex], então [tex]n=m-2[/tex] e, agora, teríamos
    [tex]\qquad \qquad n+2019m=(m-2)+2019m=2020m-2=2\times (1010m-1)[/tex]
    Como [tex](1010m-1) \gt 1[/tex], o fator [tex]\left(n+2019m\right)[/tex] também não seria um número primo.

Dessa forma, não existem números naturais não nulos [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] tais que [tex]\boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2}[/tex] seja primo.
No entanto, se abrirmos mão da condição de [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] serem não nulos, obtemos o primo [tex]X=2[/tex] fazendo [tex]m=0[/tex] e [tex]n=1.[/tex] E esse será o único [tex]X[/tex] primo, mesmo sendo [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] naturais não necessariamente nulos:

  • para [tex]n=0[/tex], [tex]X[/tex] será um múltiplo de [tex]2019[/tex] para qualquer número natural [tex]m[/tex];
  • para [tex]m=0[/tex] e [tex]n=1[/tex], teremos [tex]X=2[/tex], que é um número primo;
  • para [tex]m=0[/tex] e [tex]n \gt 1[/tex], teremos [tex]X=n(n+1)[/tex], ou seja, [tex]X[/tex] é um número par maior do que [tex]2[/tex] e, portanto, não é um número primo.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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