.Problema para ajudar na escola: Um presente guardado no cofre

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Seu Paulo comprou um presente para o filho Paulinho. Porém, para fazer suspense, seu Paulo colocou o presente em um pequeno cofre que eles têm em casa e cuja senha de abertura o Paulinho não conhece. Essa senha é um número natural [tex]N[/tex] com cinco algarismos e seu Paulo forneceu a seguinte pista para o Paulinho:

  • Se [tex]P[/tex] é o número que se obtém colocando à direita de [tex]N[/tex] o algarismo [tex]1[/tex] e [tex]Q[/tex] é o número que se obtém colocando à esquerda de [tex]N[/tex] o algarismo [tex]1[/tex], então [tex]P[/tex] é o triplo de [tex]Q[/tex].

Qual a senha do cofre onde está o presente do Paulinho?

Solução


Sejam [tex] \, \, a, \, b, \, c, \, d, \, e \, \, [/tex] os algarismos do número [tex]N \, [/tex]; portanto:

a senha do cofre é [tex]\boxed{N=abcde} \, \, \, [/tex]; [tex] \, \, \, \boxed{P=abcde1} \, \, \, [/tex] ; [tex] \, \, \, \boxed{Q=1abcde} \, [/tex].

(Antes de prosseguir, perceba que as notações [tex]abcde[/tex], [tex]abcde1[/tex] e [tex]1abcde[/tex] não indicam produtos e sim representações de número de cinco algarismos no sistema decimal.)
Sabemos que [tex]P[/tex] é o triplo de [tex]Q[/tex], então vamos utilizar o algoritmo da multiplicação para tentar obter os cinco algarismos em questão e, consequentemente, ajudar Paulinho.

    • Primeira etapa do algoritmo:

      [tex] \begin{array}{c&c&c&c&c&c}
      1&a&b&c&d&e\\
      &&&&\times&3\\
      \hline
      a&b&c&d&e&1\end{array}[/tex]

      Como o algarismo das unidades do produto é [tex]1[/tex], concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$e=7$} \, [/tex], pois [tex]3\times 7=2\underline{1}[/tex] e [tex]7[/tex] é o único algarismo que, quando multiplicado por [tex]3 \, [/tex], resulta em um produto que termina em [tex]1[/tex].

Substituindo o algarismo [tex]e[/tex] pelo seu valor e fazendo a multiplicação [tex]3\times 7=21[/tex], partimos para a próxima etapa.

    • Segunda etapa do algoritmo:

      [tex]\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&&\underline{_2}&\\1&a&b&c&d&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&c&d&7&1\end{array}[/tex]

      O último algarismo do número [tex]\boxed{3\times d+2} \, [/tex] deve ser [tex]7[/tex]. Aqui, a única possibilidade é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d=5$} \, [/tex], pois [tex]3\times 5+2=1\underline{7}[/tex] e [tex]5[/tex] é o único algarismo que produz o resultado desejado terminando em [tex]7[/tex].

Vamos substituir o algarismo [tex]d[/tex] pelo seu valor, efetuar [tex]3\times 5+2=17[/tex] e partir para mais uma etapa.

    • Terceira etapa do algoritmo:

      [tex]\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&b&c&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&c&5&7&1\end{array}[/tex]

      Ao fazermos [tex]\boxed{3\times c+1} \, [/tex] obteremos um número cujo último algarismo é [tex]5[/tex]. Veja que [tex]3\times 8+1=2\underline{5}[/tex] e [tex]8[/tex] é o único algarismo que produz o resultado necessário terminado em [tex]5[/tex]. Assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=8$} \, .[/tex]

Substituímos o algarismo [tex]c[/tex] pelo seu valor, fazemos a soma [tex](3\times 8)+1=25[/tex] e podemos efetuar mais uma etapa do algoritmo.

    • Quarta etapa do algoritmo:

      [tex]\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&b&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&8&5&7&1\end{array}[/tex]

      Faremos agora [tex]\boxed{3\times b+2} \, [/tex] e o resultado deve terminar em [tex]8[/tex]. De maneira análoga, [tex]3\times 2+2=\underline{8}[/tex] e [tex]2[/tex] é o único algarismo que produz o resultado em questão terminando em [tex]8[/tex]. Assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=2$} \, .[/tex]

Ufa, faremos [tex]b=2[/tex] e vamos para a última etapa do algoritmo.

    • Quinta etapa do algoritmo:

      [tex]\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&2&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&2&8&5&7&1\end{array}[/tex]

      Agora ficou fácil: precisamos de um algarismo que multiplicado por [tex]3[/tex] resulte um número que termine em [tex]2[/tex] e apenas o [tex]4[/tex] tem essa característica; assim [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \, .[/tex]

    • Veja a multiplicação completa:

      [tex]\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&4&2&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline 4&2&8&5&7&1\end{array}[/tex]

Pronto, Paulinho, a senha que permite a você abrir o cofre e pegar seu presente é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$428571$}[/tex] !


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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