.Problema para ajudar na escola: Um malabarismo numérico

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


Irefran é uma garotinha esperta que gosta de fazer "malabarismos numéricos".
Certo dia, ela escolheu um número natural não nulo, calculou o seu dobro e, em seguida, triplicou o valor obtido. Por fim, multiplicou esse último valor por seis.
Ao somar os quatro números, ela obteve um quadrado perfeito!
Qual o menor número que Irefran pode ter escolhido?

Adaptado da Junior Mathematical Olympiad, 2012.

Solução


Vamos denotar por [tex]x[/tex] o número natural não nulo escolhido pela Irefran e vamos analisar o efeito de cada malabarismo feito por ela;

  • número escolhido: [tex]\boxed{x}[/tex]
  • [tex]x \xrightarrow{\times 2\,} \boxed{2x}[/tex]
  • [tex]2x \xrightarrow{\times 3\,} \boxed{6x}[/tex]
  • [tex]6x \xrightarrow{\times 6\,} \boxed{ 36x}[/tex]
  • Somando os quatro números: [tex]x+2x+6x+36x=\boxed{45x}[/tex].

Logo, [tex]\boxed{45x}[/tex] deve ser um quadrado perfeito.
Agora, observe que [tex]45=3^2\cdot 5[/tex]; assim, para que [tex]45x[/tex] seja da forma [tex]45x=\left( a \right)^2[/tex], o menor valor para [tex]x[/tex] deve ser [tex]x=5\,.[/tex] Neste caso, teremos:
[tex]\qquad \qquad 45x=45\cdot 5=\left( 3 \cdot 5 \right)^2=\left( 15 \right)^2[/tex]
e, portanto, o menor número que Irefran pode ter escolhido é o [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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