.Problema para ajudar na escola: Um loteamento

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Uma grande imobiliária comprou um terreno por [tex] R\$ \, 1\ 100\ 000,00[/tex] para fazer um loteamento.
Depois de algum tempo, essa imobiliária consegue vender quase todos os lotes com um lucro de [tex] R\$ \, 20,00 [/tex] por metro quadrado, recuperando assim o valor pago pelo terreno.
Sabendo que os lotes não vendidos somam [tex]500 \, m^2[/tex], quantos metros quadrados tem o terreno que a imobiliária comprou?

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AJUDA

As raízes da equação do segundo grau [tex] \, \, ax^2+bx+c = 0 \, \, [/tex] são dadas por
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex],
onde [tex]a,b,c[/tex] são números reais, com [tex]a\ne 0 \, [/tex], e [tex] \, \Delta =b^2-4ac[/tex].

Solução


Vamos denotar por:
[tex] x[/tex] a medida em [tex]m^2[/tex] da área do terreno que a imobiliária comprou por [tex] R\$ \, 1\ 100\ 000,00[/tex] para fazer o loteamento;
[tex]p[/tex] o preço em reais pago pela imobiliária por [tex]m^2[/tex] do terreno.
Com isso, podemos traduzir matematicamente as informações dadas no problema da seguinte forma:

  • Dados sobre a compra: A imobiliária pagou [tex]p[/tex] reais por [tex]m^2[/tex] e a medida do terreno é [tex] x \, m^2[/tex].
    Então, [tex] \boxed{1 \, 100 \, 000=px}[/tex], ou seja,
  • [tex] \qquad \qquad p=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

  • Dados sobre a venda: A imobiliária conseguiu recuperar o dinheiro que gastou com a compra, vendendo a área que comprou menos [tex]500 \, m^2[/tex], com um lucro de [tex] R\$ \, 20,00 [/tex] por [tex]m^2.[/tex] Assim,
  • [tex] \qquad \qquad 1 \, 100 \, 000=(x-500)(p+20). \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex] \qquad 1 \, 100 \, 000=\left(x-500\right)\left(\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}+20\right)[/tex]
[tex] \qquad \cancel{1 \, 100 \, 000}=\cancel{1 \, 100 \, 000}+20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000[/tex]
[tex] \qquad 20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000=0[/tex]
[tex] \qquad 20x^2-550 \, 000 \, 000-10 \, 000x=0[/tex]
[tex] \qquad x^2-500x-27 \, 500 \, 000=0[/tex]
[tex] \qquad x^2-\left(5\cdot 10^2\right)x-\left(275\cdot 10^5\right)=0. \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Para obter o(s) valor(es) de [tex]x[/tex], vamos resolver a equação do segundo grau [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}.[/tex]
De acordo com a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau, as raízes dessa equação podem ser assim calculadas:
[tex]\qquad x=\dfrac{-\left(-5\cdot 10^2 \right) \pm \sqrt{\left(-5\cdot 10^2\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \left(-275\cdot 10^5\right) \, }}{2\cdot 1}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+1 \, 100\cdot 10^5}}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+11 \cdot 10^7}}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{10^4\cdot \left(25+11 \cdot 10^3\right)}}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 10^2\cdot \sqrt{11 \, 025 \, }}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 105\cdot 10^2}{2}.[/tex]

Temos, então, duas raízes para a equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}:[/tex]
[tex]\qquad x_1=\dfrac{5\cdot 10^2 +105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{110\cdot 10^2}{2}=5 \, 500,[/tex]

[tex]\qquad x_2=\dfrac{5\cdot 10^2 -105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{-100\cdot 10^2}{2}=-5 \, 000.[/tex]
Como [tex]x[/tex] é uma medida de área, [tex]x \gt 0[/tex]; logo, a raiz [tex]x_2[/tex] não nos convém.
Portanto, o valor de [tex]x[/tex] conveniente para o problema é [tex]x=5 \, 500.[/tex]
Dessa forma, o terreno que a imobiliária comprou tem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=5 \, 500$} \, [/tex] metros quadrados.
Embora não seja solicitado no problema, podemos completar facilmente as informações com relação ao loteamento:

  • Área total do loteamento: [tex]\boxed{5 \, 500 \, m^2} \, .[/tex]
  • Preço em reais pago pela imobiliária por [tex]m^2[/tex] do terreno: [tex] p=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{5 \, 500}=\boxed{R\$\,200,00} \, .[/tex]
  • Preço em reais do [tex]m^2[/tex] vendido pela imobiliária: [tex] p+20=\boxed{R\$\,220,00} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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