.Problema para ajudar na escola: Um loteamento

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

Uma grande imobiliária comprou um terreno por $R\$ \, 1\ 100\ 000,00$ para fazer um loteamento.
Depois de algum tempo, essa imobiliária consegue vender quase todos os lotes com um lucro de $R\$ \, 20,00$ por metro quadrado, recuperando assim o valor pago pelo terreno.
Sabendo que os lotes não vendidos somam $500 \, m^2$, quantos metros quadrados tem o terreno que a imobiliária comprou?

Solução

Vamos denotar por:
► $x$ a medida em $m^2$ da área do terreno que a imobiliária comprou por $R\$ \, 1\ 100\ 000,00$ para fazer o loteamento;
► $p$ o preço em reais pago pela imobiliária por $m^2$ do terreno.
Com isso, podemos traduzir matematicamente as informações dadas no problema da seguinte forma:

• Dados sobre a compra: A imobiliária pagou $p$ reais por $m^2$ e a medida do terreno é $x \, m^2$.
  Então, $\boxed{1 \, 100 \, 000=px}$, ou seja,

$\qquad \qquad p=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

• Dados sobre a venda: A imobiliária conseguiu recuperar o dinheiro que gastou com a compra, vendendo a área que comprou menos $500 \, m^2$, com um lucro de $R\$ \, 20,00$ por $m^2.$ Assim,

$\qquad \qquad 1 \, 100 \, 000=(x-500)(p+20). \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Substituindo $\textcolor{#800000}{(i)}$ em $\textcolor{#800000}{(ii)}$, segue que:
$\qquad 1 \, 100 \, 000=\left(x-500\right)\left(\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}+20\right)$
$\qquad \cancel{1 \, 100 \, 000}=\cancel{1 \, 100 \, 000}+20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000$
$\qquad 20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000=0$
$\qquad 20x^2-550 \, 000 \, 000-10 \, 000x=0$
$\qquad x^2-500x-27 \, 500 \, 000=0$
$\qquad x^2-\left(5\cdot 10^2\right)x-\left(275\cdot 10^5\right)=0. \textcolor{#800000}{(iii)}$
Para obter o(s) valor(es) de $x$, vamos resolver a equação do segundo grau $\textcolor{#800000}{(iii)}.$
De acordo com a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau, as raízes dessa equação podem ser assim calculadas:
$\qquad x=\dfrac{-\left(-5\cdot 10^2 \right) \pm \sqrt{\left(-5\cdot 10^2\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \left(-275\cdot 10^5\right) \, }}{2\cdot 1}$

$\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+1 \, 100\cdot 10^5}}{2}$

$\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+11 \cdot 10^7}}{2}$

$\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{10^4\cdot \left(25+11 \cdot 10^3\right)}}{2}$

$\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 10^2\cdot \sqrt{11 \, 025 \, }}{2}$

$\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 105\cdot 10^2}{2}.$

Temos, então, duas raízes para a equação $\textcolor{#800000}{(iii)}:$
$\qquad x_1=\dfrac{5\cdot 10^2 +105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{110\cdot 10^2}{2}=5 \, 500,$

$\qquad x_2=\dfrac{5\cdot 10^2 -105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{-100\cdot 10^2}{2}=-5 \, 000.$
Como $x$ é uma medida de área, $x \gt 0$; logo, a raiz $x_2$ não nos convém.
Portanto, o valor de $x$ conveniente para o problema é $x=5 \, 500.$
Dessa forma, o terreno que a imobiliária comprou tem $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=5 \, 500$} \,$ metros quadrados.
Embora não seja solicitado no problema, podemos completar facilmente as informações com relação ao loteamento:

• Área total do loteamento: $\boxed{5 \, 500 \, m^2} \, .$
• Preço em reais pago pela imobiliária por $m^2$ do terreno: $p=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{5 \, 500}=\boxed{R\$\,200,00} \, .$
• Preço em reais do $m^2$ vendido pela imobiliária: $p+20=\boxed{R\$\,220,00} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.