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.Problema para ajudar na escola: Um loteamento

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Uma grande imobiliária comprou um terreno por R$1 100 000,00 para fazer um loteamento.
Depois de algum tempo, essa imobiliária consegue vender quase todos os lotes com um lucro de R$20,00 por metro quadrado, recuperando assim o valor pago pelo terreno.
Sabendo que os lotes não vendidos somam 500m2, quantos metros quadrados tem o terreno que a imobiliária comprou?

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AJUDA

As raízes da equação do segundo grau ax2+bx+c=0 são dadas por
x1=b+Δ2a e x2=bΔ2a,
onde a,b,c são números reais, com a0, e Δ=b24ac.

Solução


Vamos denotar por:
x a medida em m2 da área do terreno que a imobiliária comprou por R$1 100 000,00 para fazer o loteamento;
p o preço em reais pago pela imobiliária por m2 do terreno.
Com isso, podemos traduzir matematicamente as informações dadas no problema da seguinte forma:

  • Dados sobre a compra: A imobiliária pagou p reais por m2 e a medida do terreno é xm2.
    Então, 1100000=px, ou seja,
  • p=1100000x.(i)

  • Dados sobre a venda: A imobiliária conseguiu recuperar o dinheiro que gastou com a compra, vendendo a área que comprou menos 500m2, com um lucro de R$20,00 por m2. Assim,
  • 1100000=(x500)(p+20).(ii)

Substituindo (i) em (ii), segue que:
1100000=(x500)(1100000x+20)
\qquad \cancel{1 \, 100 \, 000}=\cancel{1 \, 100 \, 000}+20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000
\qquad 20x-\dfrac{550 \, 000 \, 000}{x}-10 \, 000=0
\qquad 20x^2-550 \, 000 \, 000-10 \, 000x=0
\qquad x^2-500x-27 \, 500 \, 000=0
\qquad x^2-\left(5\cdot 10^2\right)x-\left(275\cdot 10^5\right)=0. \textcolor{#800000}{(iii)}
Para obter o(s) valor(es) de x, vamos resolver a equação do segundo grau \textcolor{#800000}{(iii)}.
De acordo com a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau, as raízes dessa equação podem ser assim calculadas:
\qquad x=\dfrac{-\left(-5\cdot 10^2 \right) \pm \sqrt{\left(-5\cdot 10^2\right)^2-4 \cdot 1 \cdot \left(-275\cdot 10^5\right) \, }}{2\cdot 1}

\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+1 \, 100\cdot 10^5}}{2}

\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{25\cdot 10^4+11 \cdot 10^7}}{2}

\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm \sqrt{10^4\cdot \left(25+11 \cdot 10^3\right)}}{2}

\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 10^2\cdot \sqrt{11 \, 025 \, }}{2}

\qquad x=\dfrac{5\cdot 10^2 \pm 105\cdot 10^2}{2}.

Temos, então, duas raízes para a equação \textcolor{#800000}{(iii)}:
\qquad x_1=\dfrac{5\cdot 10^2 +105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{110\cdot 10^2}{2}=5 \, 500,

\qquad x_2=\dfrac{5\cdot 10^2 -105\cdot 10^2}{2}=\dfrac{-100\cdot 10^2}{2}=-5 \, 000.
Como x é uma medida de área, x \gt 0; logo, a raiz x_2 não nos convém.
Portanto, o valor de x conveniente para o problema é x=5 \, 500.
Dessa forma, o terreno que a imobiliária comprou tem \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=5 \, 500$} \, metros quadrados.
Embora não seja solicitado no problema, podemos completar facilmente as informações com relação ao loteamento:

  • Área total do loteamento: \boxed{5 \, 500 \, m^2} \, .
  • Preço em reais pago pela imobiliária por m^2 do terreno: p=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{x}=\dfrac{1 \, 100 \, 000}{5 \, 500}=\boxed{R\$\,200,00} \, .
  • Preço em reais do m^2 vendido pela imobiliária: p+20=\boxed{R\$\,220,00} \, .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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