.Problema para ajudar na escola: Um jogo comunitário entre amigos

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.) (Nível: Difícil)


Quatro amigos, André, Bené, Cacá e Duda, vão jogar cartas e cada um tem certa quantia de dinheiro no bolso.
Para a brincadeira ficar mais emocionante, eles combinam que, no final de cada partida, o perdedor dobrará o dinheiro que os outros três têm naquele momento.
Os quatro jogaram quatro partidas e cada um deles perdeu exatamente uma:

  • André perdeu a primeira;
  • Bené perdeu a segunda;
  • Cacá perdeu a terceira;
  • Duda perdeu a quarta.

Se terminado o jogo cada um dos quatro ficou com exatamente [tex]64[/tex] reais, quantos reais tinha cada amigo antes do jogo?

Solução


Suponhamos que A, B, C e D sejam, respectivamente, os jogadores André, Bené, Cacá e Duda. A tabela abaixo mostra a situação dos quatro jogadores ao final da quarta e última partida.

Amigos Final
A [tex]64[/tex]
B [tex]64[/tex]
C [tex]64[/tex]
D [tex]64[/tex]

Como todos terminaram o jogo com [tex]64[/tex] reais, o jogador D (o último perdedor), ao final da quarta partida, dobrou o dinheiro que os jogadores A, B e C tinham no final da terceira partida, ou seja, A, B e C iniciaram a quarta partida com [tex]32[/tex] reais cada um.
Assim, o quarto jogador iniciou a quarta partida com dinheiro suficiente para pagar [tex]3 \times 32=96[/tex] reais para os outros três jogadores e mais os [tex]64[/tex] reais com os quais terminou a última partida, ou seja, com [tex]96+64=160[/tex] reais.
A situação dos jogadores no início da quarta partida – Qi – (ou final da terceira partida – Tf) é a destacada na tabela ao lado.
Amigos Tf / Qi Final
A [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
B [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
C [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
D [tex]160[/tex] [tex]64[/tex]

Aplicando o mesmo raciocínio, observamos agora que, ao final da terceira partida, o jogador C (o terceiro perdedor) dobrou o dinheiro que os jogadores A, B e D tinham no início da partida. Assim, A e B iniciaram a terceira partida com [tex]16[/tex] reais e, D, com [tex]80[/tex] reais (dinheiro com o qual eles terminaram a segunda partida). Então o terceiro jogador iniciou a terceira partida com dinheiro suficiente para que, no fim desta, pudesse pagar [tex]2 \times 16+80=112[/tex] reais para os outros três jogadores e com os [tex]32[/tex] com os quais iniciou a outra rodada, ou seja, com [tex]112+32=144[/tex] reais.
Acrescentamos à tabela anterior a situação dos jogadores no início da terceira partida – Ti (ou final da segunda partida – Sf).
Amigos Sf / Ti Tf / Qi Final
A [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
B [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
C [tex]144[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
D [tex]80[/tex] [tex]160[/tex] [tex]64[/tex]

Observamos agora que o jogador B (o segundo perdedor) ao final da segunda partida dobrou o dinheiro que os jogadores A, C e D tinham no início da partida. Assim, A iniciou a segunda partida com [tex]8[/tex] reais, C iniciou essa partida com [tex]72[/tex] reais e, D, com [tex]40[/tex] reais. O segundo jogador iniciou, então, a segunda partida com dinheiro suficiente para pagar [tex]8+72+40=120[/tex] reais para os outros três jogadores e com os [tex]16[/tex] com os quais terminou essa partida e iniciou a seguinte, ou seja, com [tex]120+16=136[/tex] reais.
Foi acrescentada à tabela anterior a situação dos jogadores no início da segunda partida – Si (ou final da primeira partida – Pf).
Amigos Pf / Si Sf / Ti Tf / Qi Final
A [tex]8[/tex] [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
B [tex]136[/tex] [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
C [tex]72[/tex] [tex]144[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
D [tex]40[/tex] [tex]80[/tex] [tex]160[/tex] [tex]64[/tex]

Observamos, finalmente, que o jogador A, primeiro perdedor, dobrou o dinheiro que os demais jogadores tinham no início do jogo. Assim, B começou a jogar [tex]68[/tex] reais, C com [tex]36[/tex] reais e D, com [tex]20[/tex] reais. Portanto, o primeiro jogador iniciou o jogo com dinheiro suficiente para pagar [tex]68+36+20=124[/tex] reais para os outros três jogadores e com os [tex]8[/tex] com os quais terminou a primeira partida e iniciou a próxima, ou seja, com [tex]124+8=132[/tex] reais.
Amigos Início Pf / Si Sf / Ti Tf / Qi Final
A [tex]132[/tex] [tex]8[/tex] [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
B [tex]68[/tex] [tex]136[/tex] [tex]16[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
C [tex]36[/tex] [tex]72[/tex] [tex]144[/tex] [tex]32[/tex] [tex]64[/tex]
D [tex]20[/tex] [tex]40[/tex] [tex]80[/tex] [tex]160[/tex] [tex]64[/tex]

Então, a quantidade de reais que cada amigo tinha antes do início do jogo era:

  • André:[tex]132[/tex] reais;
  • Bené: [tex]68[/tex] reais;
  • Cacá: [tex]36[/tex] reais;
  • Duda: [tex]20[/tex] reais.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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